二○○九年我与许寿椿教授的几次通信（三）

雷明85639720

（接上贴）
二○○九年我与许寿椿教授的几次通信（三）
雷  明
（二○一七年九月二十四日）

给许寿椿教授的第二封回信
雷  明
（二○○九年三月十八日）
许教授：

1、上次给你回信后，我又进行了仔细研究，你说的对，由于我把你说的通度概念没有弄明白而导致了我的错误。不过我对赫渥特图的看法是，只有你说的那组顶点是最小的断裂集，其中的顶点数是4，即该图的连通度就是4，但好象该图再没有别的顶点数是4的最小断裂集存在了。如图1。其中顶点外画圈的是断裂集中的顶点。

2、对于塔特图D46T的对偶图g25Tutte的连通度（最小断裂集），我做了D46T的对偶图g25Tutte，该图的连通度的确是3，但这个图的最小断裂集中有3个顶点的就不至是一个了，而是3个最小断裂集。如图2和图3。图中画圈的四个顶点任取三个都可构成一个最小断裂集，4个顶点3个组合在一起，共同3组，所以该图有3个最小断裂集。

3、加德纳地图画得好看一点应是以下的图4和图5。其中图4是含有区域Ⅰ的加德纳地图，图5是不含区域Ⅰ的加德纳地图。
4、我感到把你这里的连通度术语叫做断裂度可能要更合适一些，也容易理解一些，并且与其他文献上的术语也就统一了。


雷  明
二○○九年三月十八日于长安
许教授的回信：
来件收到.谢谢.顺便告知:你发现66页,114页127页同一个对象数值不一致问题,经过核实,应该都是284.并致歉意.许.09-03-20.

给许教授的第三封信
——给g109图的4—着色
雷  明
（二○○九年八月二十三日）
许教授：你好！

1、我把你的来信又仔细的着模了一下，假若你书中的g109图是对的，那么，正确的加德纳地图就不是你所说的在我文图1的基础上去掉那4 条边的问题，而应是一下图1或图2，请你再核对一下，以免在再版时再出错。（我上次给你的回信中说的也是有误的。）
我又对这个图着了一次色，比起我上次给你书中的加德纳地图着色还要容易一些。其关键是要选好它的对偶图中的第一个着色顶点。我这里选的是顶点1，着色后再着其轮沿顶点，只用了三种颜色；然后再按图中的顶点次序，按轮形图着色，最后只在最外个一个同心园上，变动个别顶点的颜色即可给该图的对偶图4—着色（如图3，这个图中我保留着Ⅰ面对应的顶点），返回到加德图的4—着色则如图4。这是当图中含有区域Ⅰ时的着色，若不含区域Ⅰ时，把图4中109号区域去掉，把无限面110改成109号面即可。

2、另外，我没有否定赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式，我只是说你叙述方法不合适，不如《图论的例和反例》一书中说的科学准确，该书上说是“最多”，而你说的是“最少”，我认为用最多更合适些。如画在球面（亏格为0）上的任何地图或平面图的色数最多是4，而不应说最少是4；同样，画在轮胎面（亏格为1）上的任何地图或图的色数最多是7，而不应说最少是7。平面上的图的色数不会大于4，轮胎面上的图的色数也是不会大于7的。这个公式的条件是曲面的亏格大于0，明明当亏格为0时，公式结果是4，这正好说明了四色猜测是正确的，可就是因为赫渥特对他的图不能4—着色，就增加了这么一个亏格大于0的条件。那么现在赫渥特的图已经能4—着色，为什么还不把这个附加条件取掉呢。

3、坎泊证明中的“漏洞”应该是他没有证明一个区域与其他五个用4种颜色着色的区域邻接时，是否该区域也能着上已用过的四种颜色之一，就类比他对一个区域与其他四个用4种颜色着色的区域邻接时能着上已用过的四种颜色之一，而非常自信的“坚信”这个与其他五个用4种颜色着色的区域邻接的区域也一定能着上已用过的4种颜色之一。这是他证明的关键所在，也是他证明失改的地方。留下了后来叫赫渥特找出的了“漏洞”（见范益政等人翻译的《图论导引》）。坎泊没有证明的“漏洞”实际上是一个5—轮构形，这个构形是完全能够4—着色的（见我的《5—轮构形的4—着色》），这就相当于是对坎泊证明的补充。应该说四色猜测就得到了证明是正确的。那么，赫渥特多阶曲面上的地图着色公式中的条件就应改成是亏格大于等于0了。赫渥特的所谓“五色定理”只是在为了对他的图他不能4—着色而凑合起来的证明，没有什么实质上的东西。现在四色猜测已证明是正确的，那么它就是一个错误的东西了。
4、坎泊的证明中没有证明5—轮构形能不能4—着色，还没有得到证明。在阿贝尔等人用计算机对猜测 的“证明”中的1936个构形中正好就没有这个5—轮构形，而是把这个构形用别的构形替代（见王树禾的《图论》一书），绕开了主要矛盾，验证的图再多，也是没有用的，是白浪费时间和资源。他用了那么多的构形，有谁能去对他的“证明”进行验证呢。我根本就不相信计算机能证明猜测这一回事。计算机是人创造的，人解决不了的问题，它也绝对解决不了。阿贝尔他们的证明只能说是让计算机代替人对近2000个特殊的图进行的4—着色，因为人会着色，能够编出着色的程序并“教”给计算机，叫它来代替人去进行工作。

说得对不对，请提出指正。
敬礼
                                雷  明
                    二○○九年八月二十三日于长安

给许寿椿教授的又一封信
雷  明
（二○一三年二月十八日）
许教授：
我过去给你去信说过你对赫渥特给出的多阶曲面上的地图着色公式的描述不妥，你不大同意。但我仍认为我说的是对的。该公式在你书中所表示的如下：
    MP＝[7/2＋1/2√（1＋48P）]
你说“式中MP是p阶可定向曲面上的地图着色时，使得有公共边界的区域着不同颜色的最少颜色数”，我认为这种提法是不妥的。例如，K3,3图，K5图，K6图，K7图的亏格都是1,即p＝1,代入上式，结果都是MP＝7,而实际上K3,3图，K5图，K6图，K7图的色数分别是2,5,6,7,并不是都得最少要用MP＝7种颜色。所以我说你上面的话应该说成“式中MP是p阶可定向曲面上的地图着色时，使得有公共边界的区域着不同颜色的最大颜色数”。 K3,3图，K5图，K6图，K7图都是亏格为p＝1阶的曲面上的图，其中用颜色最多的只是MP＝7种，而不是最少都得用MP＝7种。具我所看到的文献上，该公式都是用了一个小于等于号“≤”的，而不是只用了等号“＝”的，用“≤”就与实际相符了。说得不一定对，请教授批评指正。另外，虽然我们不知赫渥特的公式是如何得来的，但我们可以从多阶曲面上的欧拉公式（这已证明是完全正确的）直接推导出赫渥特的着色公式，从而也可以正明四色猜测是正确的。你可以查看下面的网页：其中有我的推导过程。你也可以参考一下这个网页：这里有我对证明四色猜测的个人看法。
此致敬礼
                                    雷  明
                          二○一三年二月十八日于长安

对许寿椿教授的回复及重伸对有关问题的看法
雷  明
（二○一六年十二月四日）
许教授：
1、首先要感谢你在最后对我的推心置腹的建议和忠告。我以后在发表自已见解和观点时，不再谈论别人的对与错，在非要涉及时，也一定要以委婉的语言，商量的口气。尽量不再伤害别人。
2、说实话，我是非常喜爱你的书的，也正是因为这样的原因，我才能发现你书中所存在的在排版和印刷中出现的错误所在。
3、我的评论发给你后，你及时指出了我把顶点度与顶连通度的概混了，我也及时表示是我错了，也得到了你的肯定。但我后来在网上发表时，忘记了对原文进行改动，这是我过失，给你带来了不必要的麻烦，我表示很对不起，请你原谅。
4、原本我不想在网上发表，但想到文中设及到许多其他方面的问题（这也不是针对你的），谈到了我个人的看法和意见，所以也就有了在网上发表的想法。如以上3中所说的，忘记了对你已指出的错误地方，无加任何改动的就发表了。
5、你现在提出了这一问题，我一定想办法找到原文，把它删掉（可我现在怎么也找不到我发表的原文，我只记得我只在《数学中国》上发表过，我的博客中也有，但只是在《数学中国》上的网址，点了网址后，回答是无法找到该页。我没办法了，请许教授给我指出我的文章在什么地方，怎样才能找到，我把它删掉）。
6、由于你文中也谈到了对其他问题的看法，所以我也就对这些问题再进一步谈一谈我的看法。只是看法而已，没有否定别人之意，也是否定不了的。
7、许教授，我是一个爱好者，对有些问题的看法有不对的地方，学术语言的使用有不合适的地方，你指出来是很好的，我很感谢，但也用不着对我进行那样的讽刺、挖苦，执问和指责。
重伸对以下有关问题的看法：
一、我既对四色问题进行了研究，我就得要使大家知道我的结果是什么（当然我的结果是否正确，能不能得到大家的承认，那是另一个问题）。我当然要说明我通过证明，得到的结论是正确的，证明了四色猜测是正确的。我不可能用象阿贝尔在其《四色地图问题的解决》一文中所说的：我们解决了四色问题，四色定理得到了证明等这些含乎不清的词眼；而要旗帜明显的说：我证明了四色猜测是正确的。
任何一个问题的解决，不可能只有一种或几种办法，而是有多种的，很可能已有爱好者早已用手工证明了四色猜测是正确的，只是还没有得到大家的公认而已，当然我也中其中的一个。我既已认为自已证明了四色猜测是正确的，那我为什么不能宣传呢。我认为我的宣传是低调的，我对我的研究的宣传是没有用过头语言的。我还要说，我在一九九二年提出的不画图，不着色证明四色猜测的思路是正确的，我的目标目前已经达到。我的目标达到了，我当然是高兴的，不高兴，不沾沾沾自喜，难道还能哭吗。
阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》中说（5，5）和（5，6）是不可避免集，即（5，5）和（5，6）都是不可免的构形，但他紧接着同时又说这两个所谓的构形又是不可约的。从这里能得到什么结论呢，只能得出四色猜测是不正确的了。因为不可免的构形（5，5）和（5，6）都是不可约的，那当然四色猜测就不是对任何平面图都适应的了。请教授说说，阿贝尔的机器证明道底对不对呢。
二、许教授已对赫渥特图进行了4—着色（不管是用手工着色，还是用机器（用机器着色实际上也是人在给着色），也不管是否是在赫渥特原着色的基础之上进行的4—着色，总之都说明了赫渥特图是可以4—着色的），你当然是可以很力直气壮的说，赫渥特的图只是指出了坎泊的证明有漏洞，而不是说赫渥特图不能4—着色。但在这之前的一百多年里，有那个资料上出现过赫渥特图的4—着色模式呢。所以我认为，对赫渥特图在赫渥特原着色的基础之上，能否对该图进行4—着色，是研究四色问题时的一个很重要的问题。虽然对该图4—着色的成功，不能就此说明四色猜测就是正确的，但它至少可以说明赫渥特图是可以4—着色的，至少是没有因该图不能4—着色而怀凝四色猜测的正确性了。我仍认为一百多年前的赫渥特是不能对他的图进行4—着色的。许教授问我“你能够具体给出Heawood的话吗？”那我同样也要问教授，你能拿出赫渥特当年对他的图的4—着色的模式吗？你能拿出来吗？如果能拿出来，还能待到你拿吗，早就有人拿出来了。
赫渥特的图指出了坎泊的证明中有漏洞，那么漏洞是什么呢？从现在看，就是没有考虑到5—轮构形情况下，两条连通链还有相交叉的这一种情况。可赫渥特并没有给出这种情况下的5—轮构形是可约的呀。如果他得到了这种情况下的5—轮构形是可约的，那么他就一定就能对他的图进行4—着色。可以说，直到你、我、懂和敢峰先生等人对赫渥特图进行了4—着色之前，是没有看到任何人对该图进行过4—着色的。如果赫渥特能对他的图进行4—着色，那不就说明四色猜测得到了证明是正确的吗。赫渥特一百多年前，不就把坎泊的漏洞补上了吗，他为什么还要证明所谓的五色定理呢。他在他的多阶曲面上的地图着色公式后面注上了亏格不等到于0，至少就说明了他对他的图是不能4—着色的。
三、赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式，所有的文献资料上都没有设及该公式的来历。是推导出来的，还是经验的总结，不得而知。正因为不知公式的来历，所以我才从几个方面进行了多种分析，谈了我的看法。我想这个你是不应该对我进行指责的。现在，我已把v≥3时，任何图中都有3f≤2e（v、f、e分别是图的顶点数、面数和边数）的关系，以及完全图中有e＝v（v－1）／2的关系，代入到多阶曲面上的欧拉公式里去，得到一个有两个未知数（一个是图的亏格数n，一个是图的顶点数v）的一元二次不等式。在解这个不等式时，有两种表示方式：一是用亏格数n表示顶点数v的，另一个是用顶点数v表示亏格数n的。在用亏格数n表示顶点数v时，公式中的v后面用的是小于等于号，得到的v是某亏格下的完全图的顶点数。为保证图的顶点数是整数，所以还得向下取整。由于完全图的色数就是其顶点数，所以这一表示方式也就是某一亏格下的图的色数，也即赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。由于在同一亏格下，存在着不同顶点数的完全图（当然其色数也就不同了），所以式中的小于等于号还要继续保持；而在用顶点数v表示亏格数n时，公式中的n后面用的是大于等于号，这就是顶点数是v的完全图所能嵌入的所有曲面的亏格。由于图的亏格是其所能嵌入的曲面的最小亏格，所以向上取整后，只用等号就可以了。这就是该顶点数为v的完全图的亏格，也就是林格尔的公式。这两个公式从推导过程看，除了有v≥3的条件外，再没有任何限制条件，根本就没有规定亏格必须大于0的说法。所以我认为赫渥特的地图着色公式是适用于亏格为0的平面图的。
赫渥特公式和林格尔公式本是同一个公式的两种不同的表达方式，是不能用其中一个来证明另一个的。我认为沙特朗和哈拉里都用了林格尔公式去证明赫渥特公式是不合适的（包括你许教授这次反驳我的文章中也有这样的观点），而且他们在证明时，就已经是提前排除了亏格为0的。原本林格尔公式后只有v≥3的条件，也并没有说不适用于亏格为0的平面图，为什么由其变形而得到的赫渥特公式后面，突然就冒出了一个亏格不等于0的苛刻条件呢。我不认为当亏格为0时，赫渥特公式的计算结果是小于等于4是一个巧合，而是一个必然的结果。
赫渥特公式计算的结果，是某亏格的图着色时的最大色数，而该 亏格的所有图的色数也都是小于等于计算值的。如，同样亏格都是1的K3，3，K5，K6，K7的色数分别是2，5，6和7，都不大7，赫渥特公式的计算值也是小于等于7的。说该亏格曲面上的图的色数最少是7当然是不对的了。但如果说，在对亏格为1的图着色时，说最少要准备7种颜色则是对的，但说最多只要准备7种颜色也是对的。我的水平再低也不至于把图的色数和颜色数目混为一谈吧。
四、阿贝尔说他们找到了由近2000个构形构成的叫做可约的不可避免构形集，因此，就说四色定理得到了证明。我认为这个提法不合适。而应该说成是他证明了那近2000个构形都是可约的。但他们并没有证明所有的不可免构形都是可约的，仍不能得到四色猜测是正确的结论。因为他的文章中，并没有说到在他这近2000个构形之外，就再没有不可免构形存在了。所以，不能说证明过的可约构形很多很多时，就说明四色猜测是正确的。正确的说法应是：平面图的不可免集中的所有不可免构形都是可约时，四色猜测也就得到了证明是可约的。
对于用计算机能否对四色猜测进行证明，我的看法仍是：计算机只能对图进行着色，而不能对四色猜测进行证明。人会做的事，人也才能把做事的方法（程序）教给（输入）计算机，叫计算机代替人去执行，计算机也会一点不错的按人给它的方法步骤去做的，速度一定要比人快得多得多；但人还不会做的事，人是决不可能把做事的办法教给计算机的，计算机也就不知道该怎么去做了。只所以计算机能着色，是因为人会给图着色，能把着色的方法写成程序输入计算机，计算机才能去照办的。但它虽会着色，也不可能把所有的图都着色完，因为人首先就不可能把所有的图都有输入计算机。所以我认计算机是不能证明四色猜测的。当然其他别的证明问题，计算机同样也是不能胜任的。
五、关于平面图与构形的问题，我认为平面图是一个具体的图，其顶点和边都是有具体值的，包括面也是有具体值的；而平面图的构形则不是一个具体的图，其顶点与边都是没有具体值的。如，一个5—轮，是一个图，有6个顶点，10条边和6个面；而5—轮构形，除了5—轮中的顶点和边以外，其外还有多少个顶点和多少条边，是不明确的。而作为在证明四色猜测时所说的5—轮构形，则又是指的在构形中只有5—轮的中心顶点未着色外，其他所有顶点都已用了四种颜色之一着了色，且符合着色要求的。我们只要分析各色链的各种相互关系，在所有的可能情况下，构形都是可约（即通过坎泊的颜色交换技术，都可以给未着色的5—轮中心顶点，着上构形中已用过的四种颜色之一）时，就能证明5—轮构形是可约的。当平面图的所有不可免构形都是可约时，四色猜测也就被证明是正确的了。我没有把平面图和平面图的构形弄混淆。你认为我不应把阿贝尔的近2000个构形说成是近2000个图，也是可以的。但复旦大学的欧阳光中教授在他的《地图四色问题》一书中，也是这样说阿贝尔是对近2000个特殊的“图”进行了4—着色的验证，许教授你又是如何看待这一问题呢。
雷  明
二○一六年十二月四日于金堆城

    注：此文已于二○一六年十二月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

本文：《二○○九年我与许寿椿教授的几次通信》于二○一七年十月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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