正整数 a,b,c 满足 (a-b)(b-c)(c+a)=-90 ，… ，(a+b)(b-c)(c-a)=-60 ，求 a,b,c 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

题目： a,b,c 均为正整数， 且满足：
    (a-b)(b-c)(c+a)=-90 ...........(1)
    (a-b)(b+c)(c-a)=42 ............(2)
    (a+b)(b-c)(c-a)=-60............(3)
求 a,b,c

解： (1)+(2)
     (a-b)【(bc+ab-c^2-ac)+(bc-ab+c^2-ac)】=(a-b)(2bc-2ac)=2c(a-b)(b-a) =-48
     或： c(a-b)^2=24;
     由于 a,b,c均为正整数，且24分解质因数为2*2*2*3；  所以：|a-b|只能为1或2，对应c为24或6

      (2)+(3)
     (c-a)【(ab+ac-b^2-bc)+(ab-ac+b^2-bc)】=(c-a)(2ab-2bc)=2b(c-a)(a-c)=-18
    或： b(a-c)^2=9;  由于9分解质因数为3*3；所以：|a-c|只能为1或3；对应b为9或1

     (1)+(3)
     (b-c)【(ac+a^2-bc-ab)+(ac-a^2+bc-ab)】=(b-c)(2ac-2ab)=2a(b-c)(c-b)=-150
    或：a(b-c)^2=75; 由于75分解质因数为3*5*5；所以：|b-c|只能为1或5，届时a=75或3

    a不可能为75，否则，由于b只能为9或1，|a-b| 将至少为66，这与|a-b|为1或为2矛盾
    所以，有 a=3

    由于|a-b| 只能为1或为2，所以，b不可能为9， 所以，有b=1
    由于a-b=2,所以，c=6

经验证，a=3,b=1,c=6 可以使联立方程成立。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

波斯猫猫

要点：1，三个等式一比较，显然只有中间的式子含有因数7，即b+c=7；
2，第2、3两式相加化简得 b(a-c)^2=9；
3，因b≠9，故b=1,c=6 ；
4，代入第2式得(a-1)(1-6)(6+a)=-90 ，解得a=3。

天元酱菜院

要优化解法， 可以不做(1)+(2) 和(2)+(3)。

直接做(1)+(3)化简后得a*(b-c)^2=75
因a、b、c均为正整数，75分解质因数为3*5*5，所以|b-c|只能为1或5,对应a为75和3
但如果a=75,a+b将大于75， 在(3)式中，大于75的整数乘以两个整数不会等于-60。所以有a=3, |b-c|=5

而|b-c|=5 代入(1)式就有(a+c)*|(a-b)|=18;  由于a+c>a=3,  作为18的因数a+c可能为6或9或18，
即c可能为3或6或15
如果c=3,c-a将为0，(3)式和(2)式都不会成立。
如果c=15, c-a=12, 12不是42的因数，(2)式不会成立。
所以c=6。|a-b|=2

由于|3-b|=2, |b-6|=5; 易得b=1

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。