求证：lnx/e^x＜e^(-13/6)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

elim

没有什么好办法，硬算呗

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

王守恩

elim 发表于 2017-10-24 04:36
没有什么好办法，硬算呗

       求证：log(K)x/x＜1/(e lnK)
    log(K)表示底数是K，ln表示底数是e。

elim

王守恩的这个不等式简单说来就是 ln x ≤ x/e 或 (ln x)/x≤ 1/e
等号仅当 x=e 时成立．用中值定理易证之。

于是 x/e^x = ln(e^x)/e^x ≤1/e 进而 ln x/e^x = (ln x/x)(x/e^x) < 1/e^2=e^{-12/6}

这个结果没有 ln x/e^x < e^{-13/6} 好，我们前面已经看到后者也不是最佳结果。

王守恩

elim 发表于 2017-10-30 00:13
这个不等式简单说来就是 ln x ≤ x/e 或 (ln x)/x≤ 1/e
等号仅当 x=e 时成立．用中值定理易证之。

  lnx/e^x＜e^(-13÷6)
     lnx＜e^(x - 13÷6)
     ln(lnx)＜x - 13÷6
  x  - ln(ln  x )>2.16667
1.1 - ln(ln1.1)=3.45062
1.2 - ln(ln1.2)=2.90198
1.5 - ln(ln1.5)=2.40272
1.6 - ln(ln1.6)=2.35501
1.7 - ln(ln1.7)=2.33369
1.8 - ln(ln1.8)=2.33139
1.9 - ln(ln1.9)=2.34339
2.0 - ln(ln2.0)=2.36651
  e  - ln(ln  e )=2.71828
3.0 - ln(ln3.0)=2.90595
4.0 - ln(ln4.0)=3.67337
5.0 - ln(ln5.0)=4.52412
......

王守恩

题目：求  lnx/e^x  的最大值。
简单解法。A是正数，
满足A+lnA=0    则    lnx=A

elim

王守恩 发表于 2017-10-30 02:44
题目：求  lnx/e^x  的最大值。
简单解法。A是正数，
满足A+lnA=0    则    lnx=A

A/e^{e^A} 是 ln x/e^x 的最大值。 但 A 没有简单解法。

elim

这个解法比我前面的好很多！