f(x,y) 在各方向上的方向导数都存在，是否一定连续？

luyuanhong

w632158

[这个贴子最后由w632158在 2011/12/08 07:58pm 第 1 次编辑]

陆教授是正确的。二元函数在一个点的连续性与它在点的领域有关的概念。

天山草

请教陆教授：
一楼所给的函数图像如下，不要从定义解释，直接从下图说明一下，能否说明这个函数为何在零点是不连续的：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/12/08 07:51pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2011/12/08 05:57pm 发表的内容：
请教陆教授：
一楼所给的函数图像如下，不要从定义解释，直接从下图说明一下，能否说明这个函数为何在零点是不连续的：

天山草所作的图很好。

天山草

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/09 07:23am 第 2 次编辑]

x 从 0 到 -0.5
y 从 0 到 +0.6
曲面在零点处的图形作不好，不能直观地看出该点不连续。从陆教授的分析可知，在（0，0，0）点和（0，0，0.5）点，都存在曲面的“破洞”。对于第一个点，因为 x=0，y=0 点函数本身没有定义，只是人为地给了一个 x=0，y=0 时 z=0 的定义，从而“修补”好了这个破洞。第二个破洞“没有修”，如果也补，无论定义 z=0 或是 z=0.5，函数在零点仍是不连续的。
如果这二个破洞都不去补，在（0，0，0）点处曲面也是不连续的，但是该点仍有等于零的方向导数（这个说法对否？），还是如果“可导”，必须先要求“连续”？

下面这段话是从网搜来的：
函数在某点可导，前提是函数在该点是有定义的（去看一下书中的定义）。可导一定连续，书中有推导。
我用最通俗的说法（个人理解）给你解释一下导数问题，希望能对你的理解有所帮助：导数，简单地说就是函数在该点的切线，为什么说它必须在该点有定义呢？你想，一条曲线如果它在那一点没定义，（画个图来说的话就是一条平滑的曲线，在某点处只能画个圈），那么，该点处的切线我们怎么画？没办法画。所以说，如果函数在某点无定义，那么它在该点必然不可导。
    其次，间断点，通俗地讲就是没有定义的点。没有定义的点必然不可导，所以间断点处压根就没必要考虑导数。

天山草

网上搜来的，关于函数间断点的分类——
第一类间断点（左右极限都存在）有以下两种：
1. 跳跃间断点：间断点两侧函数的极限不相等。
2. 可去间断点：间断点两侧函数的极限存在且相等，但是函数在该点无定义。
第二类间断点（非第一类间断点）也有两种：
1. 振荡间断点：函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡。
2. 无穷间断点：函数在该点极限趋于无穷大。
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对于“可去间断点”，在该点的“切线”应该是能作出来的。对否？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/12/10 04:43pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2011/12/08 09:50pm 发表的内容：
x 从 0 到 -0.5
y 从 0 到 +0.6
曲面在零点处的图形作不好，不能直观地看出该点不连续。从陆教授的分析可知，在（0，0，0）点和（0，0，0.5）点，都存在曲面的“破洞”。对于第一个点，因为 x=0，y=0 点函数本身 ...

    你在网上查到的可导与连续的关系，是一元函数可导与连续的关系，
不是多元函数的方向导数与连续的关系。你在网上查到的间断点的分类，
也是一元函数的间断点的分类，不是多元函数的不连续点的分类。
    多元函数 f(x,y)=x^2*y/(x^4+y^2) 本来在 (x,y)=(0,0) 点没有定
义，补充定义 f(0,0)=0 以后，可以保证通过 (0,0,0) 点，沿着各个方
向作函数曲面的切线，切线斜率都唯一存在，而且都不是 ∞ 。这就说明：
在 (x,y)=(0,0) 处，函数 f(x,y) 在各个方向上的方向导数都存在。
    同时，在函数曲面上，又存在一条垂直高度为 1/2 的水平抛物线，这
条抛物线可以无限逼近 (0,0,1/2) 点，与我们已经定义好的函数曲面上的
点 (0,0,0) 相比，有一个高度为 1/2 的跳跃。这就说明：函数 f(x,y)
在 (x,y)=(0,0) 处是不连续的。  

傻瓜学者

请教陆老师：
我觉得如果从图形出发来理解这个命题，做一个不太恰当的比拟，就像一元函数f(x)在边界点可导很类似：
如果f(x)在开区间(a,b)上的每一点都可导，那么称f(x)在(a,b)上可导。如果另外还满足f(x)在a点右可导，在b点左可导，那么称f(x)在闭区间[a,b]上可导。
那么换到这个二元函数上，就是点(0,0,0)在那个水平抛物线的方向上是断的，但它向那个方向上却有导数。