设 C,D,A,E,B,F 是六边形各边的中点，证明：ΔABC 与 ΔDEF 的重心重合

luyuanhong

天山草

楼主用的方法很好。
下面我再来个物理方法，简单易懂——
在六角形 GHIJKL 各点处分别放上一个质点，各质点的质量相同，假定都是 1。现在考虑这六个质点组成的系统的重心在哪里。G，H 两个点的重心在其连线的中点 C 处，I，J 两个点的重心在 A 处， K，L 两个点的重心在 B 处，因此，系统的重心相当于 A，B，C 三个点的重心（这三个点的质量都是 2），而 A，B，C 三个点的重心就是 M 点，这即是系统的重心。如果换一个视角看，系统的重心也可看作是 D, E, F 三个点的重心 M';，由于系统的重心只有一个，因此 M 与 M'; 必然是重合的。

wangyangkee

感觉2楼 天山草的方法有问题，，，

luyuanhong

天山草给出的物理方法证明很好，是正确的，没有问题。

wangyangkee

疑惑------
1，陆老师说肯定了，天山草的证明没有问题；那，一定没有问题；
2，本人疑惑：
      2.1.形心或质心，基于在平面上质量是等密度分布的；
      2.2.感觉，按天山草的思路，有一个不等密度分配的模型：等边三角形ABC中，在AB、AC边靠近A点附近取两点D、E；平行于边BC移动A点位置，成五边形；再三角形ADE中，靠近A点处，砍去一小块，成六边形；如果按照天山草的方法，那么，质量不是等密度分布的，，，
      2.3.这个疑惑的错误，问题在哪里？

天山草

    大约 50 年前，北京市（中学）数学会有位数学家，给中学生写了一本科普书，专门讲如何使用物理上的重心概念来解几何问题，这本书很有趣味，如果现在能再版，肯定有销路。
    wangyangkee 说：“形心或质心，基于在平面上质量是等密度分布的”，这句话中就有两个错误。第一，形心与质心不一样；第二，物体的质心，并不要求“质量是等密度分布的”。在本题目中，是在六角形的各顶点处放置了六个“质点”，六角形各边的质量认为是零（其实，即使不为零也行，那就要求各边的“线密度相同”）。
    有一个著名的不等式：若干正数的算术平均值一定大于等于它们的几何平均值，这个也可以用重心的方法来证明，很有趣。
    用此方法能证明三角形的三条高线（或各内角的平分线）一定交于一点，这时在三角形的各顶点处放置质点时，各质点的质量就必须不同了。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/26 07:22am 第 1 次编辑]

下面引用由风花飘飘在 2011/12/26 02:19am 发表的内容：
这个重合的重心根本就不是六边形的重心！

是的，有可能不是六边形的重心。只是六边形“六个顶点的的重心”，六边形其余部分的质量认为是零。在前面的论述中，我说的“系统”并不是指“六边形”，而是单指那六个质点。至于这六个质点的重心是不是正好与六边形的重心相重合，那是另一个问题，有兴趣的网友可以研究研究。对于三角形，其重心与“顶点重心”是一致的，这个可以证明。