求教排列组合问题

xiaomifeng · 发表于 2011-12-28 21:47

问一个排列组合问题：
袋中有24个球，8红，8绿，8蓝；从袋里每次取一球，取后放回，连取65次，连取6个或以上同颜色球的概率是多少？
请各位高手解答。

luyuanhong · 发表于 2011-12-31 23:03

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/01/01 08:57pm 第 2 次编辑]

天山草 · 发表于 2012-1-1 10:02

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/01 10:07am 第 1 次编辑]

提二个问题：
1. 原题中说袋中有三种颜色的球各 8 个，共 24 个。陆教授的解答中好像不需要这个条件。是不是可以认为袋子中的球有“无穷多”呢？就是说，“各 8 个、共 24 个”无关紧要，改成“各 10 个、共 30 个”也是同样的答案？
2. 如果袋子中的球是“无穷多”的，那从袋子中取出一只球之后，下次继续取球之前，原先取出的那个球“放回”与“不放回”其实是一样的，“不放回”也行，并不影响答案——这说法对否？

luyuanhong · 发表于 2012-1-1 10:45

下面引用由天山草在 2012/01/01 10:02am 发表的内容：
提二个问题：
1. 原题中说袋中有三种颜色的球各 8 个，共 24 个。陆教授的解答中好像不需要这个条件。是不是可以认为袋子中的球有“无穷多”呢？就是说，“各 8 个、共 24 个”无关紧要，改成“各 10 个、共 30 ...

1.如果取球是“放回”的，那么，只要三种颜色球数一样多，不管球的个数是多少，
取到三种球的概率总是 1/3 。所以，在“放回”的情况下，题目中给出球的个数，
其实是不必要的。
2.如果取球是“不放回”的，那么，袋中球的个数是必须给出的，因为各种颜色的球，
取出一个就少一个，以后再取到这种球的概率就少了。
3.如果袋子中球的个数是“无穷多”个，确实，“放回”与“不放回”的计算结果是
一样的。但是在实际生活中，球的个数其实是不可能有“无穷多”的。如果只是因为
球的个数很多，近似于“无穷多”，但实际上球的个数还是有限的。那么，在这种情
况下，“放回”与“不放回”还是有区别的，只不过区别很小而已。

luyuanhong · 发表于 2012-1-1 18:30

天山草 · 发表于 2012-1-1 19:14

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/01 07:33pm 第 4 次编辑]

对于 1 楼的原题，采用随机模拟的方法进行了 20 次试验，结果如下图【图中共有 20 行，代表 20 次试验。每一行是一次试验，它有 65 个共三种符号，每种符号代表一种颜色】

luyuanhong · 发表于 2012-1-1 21:13

谢谢天山草不怕麻烦，对这题进行实际模拟。
我在第 2 楼中原来的解法，本来就是一种近似的做法，与模拟的结果相对比，
可以看出，这种近似做法，得到的结果，误差很大，所以不是一种好的做法。
现在，我已经对第 2 楼中的帖子作了修改，改用了另一种近似做法。
用我修改后的近似做法，算出的概率大约是 0.178326… 。
在天山草模拟的结果中，20 次有 2 次得到“长度为 6 或 6 以上的同色串”，
也就是说，取球 65 次，连续 6 次或 6 次以上取到同色球的概率大约为 0.1 ，
这与我修改后计算得到的结果相对比，就比较接近了。

天山草 · 发表于 2012-1-1 21:34

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/01 09:35pm 第 1 次编辑]

用随机数程序进行模拟试验，进行了十组试验，每组试验 10 万次，共 100 万次，结果如下：
第一个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.165947
第二个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.166468
第三个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.16653
第四个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.166116
第五个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.166399
第六个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.166451
第七个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.1661
第八个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.16625
第九个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.166615
第十个 10 万次试验，大于等于 6 个同色串的概率是 0.16601
--------------------------------------------------------------
以上数据平均，得到试验 100 万次的概率为 0.1662886
注：所谓试验一次，就是从袋子中一次次地摸出 65 次球，记录这 65 次的结果，看有几个大于等于 6 的同色串。在 100 万次试验中，共得到这样的同色串 16.62886 万个。

天山草 · 发表于 2012-1-1 21:45

[这个贴子最后由天山草在 2012/01/01 09:49pm 第 1 次编辑] 下面给出模拟这个概率的程序，调试这个程序费了几个小时，其中的精华就是如何计算出大于等于 6 的同色串个数的问题——6串，7串，8串，9串，10串，……都算是一串，如何编程呀？费了许多劲，最终发现了一种很简单的方法。懂得编程的网友，您能从下面的程序中看出来。 Private Sub form_Click() Dim a(65) Randomize mmm = 100000 m = 0 For j = 1 To mmm aa$ = "" n = 0 For i = 1 To 65 a(i) = 1 + Int(300 * Rnd) If a(i) >= 1 And a(i) <= 100 Then '

rint "☆"; aa$ = aa$ + "☆" End If If a(i) >= 101 And a(i) <= 200 Then '

rint "○"; aa$ = aa$ + "○" End If If a(i) >= 201 And a(i) <= 300 Then '

rint "●"; aa$ = aa$ + "●" End If k = k + 1 Next i aa$ = aa$ + "#############" For ii = 1 To 65 b6$ = Mid(aa, ii, 6) If b6$ = "☆☆☆☆☆☆" Then n = n + 1 If b6$ = "○○○○○○" Then n = n + 1 If b6$ = "●●●●●●" Then n = n + 1 Next ii For ii = 1 To 65 b7$ = Mid(aa, ii, 7) If b7$ = "☆☆☆☆☆☆☆" Then n = n - 1 If b7$ = "○○○○○○○" Then n = n - 1 If b7$ = "●●●●●●●" Then n = n - 1 Next ii m = m + n Next j Print "共试验"; mmm; "次" Print "大于等于 6 的同色串有"; m; "串" Print "出现的概率等于"; m / mmm 999: Close End Sub

天山草 · 发表于 2012-1-1 22:06

陆教授改正后的结果与随机数模拟结果是基本一致的。直觉认为，可能模拟结果更接近真实。因为每模拟 10 万次，结果都约为 0.166，很稳定。

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