一道极限试题

天山草 · 发表于 2011-12-29 13:39

这个极限应该等于 2/π吧，就是 0.63661977236758134308
如何算出来呀？我是不知道哇。

随便112 · 发表于 2011-12-30 09:44

答案好像是这个但是没有解答，怎么做的呢

天山草 · 发表于 2011-12-30 10:11

下面引用由随便112在 2011/12/30 09:44am 发表的内容：
答案好像是这个但是没有解答，怎么做的呢

请陆教授解答吧。

天山草 · 发表于 2011-12-31 08:47

楼主，这个题目是哪里来的？
若是书上抄下来的，那就能找到答案。
若是楼主自己想出来的，那就不一定能找到答案了。
无论是哪种情况，这个题目还是很有趣的。
要是不带绝对值符号，极限将是零无疑。现在是有绝对值符号，每一项都大于零，是一个“正项级数”……。
一种考虑：带绝对值的正弦函数，可以展开成富氏级数，结果是……，结果是我没有带数学手册，又不想从头推导。

天山草 · 发表于 2011-12-31 08:56

从这个网站搜到一个【郭经理1】的帖子，陆教授的解答，与楼主的题目有一点沾边儿：

天山草 · 发表于 2011-12-31 09:18

主帖中，把余弦改成正弦，结果相同。

天山草 · 发表于 2011-12-31 09:24

[这个贴子最后由天山草在 2011/12/31 09:30am 第 2 次编辑]

主帖中，把 cos(k) 改成 cos(k/1000)，或是 cos(k/1000000)，结果相同。
于是我就明白了，明白了，……
原来呀，这个极限值就等于 0 至 180 度之间的正弦函数曲线所围面积【等于 2】除以圆周率的值。也就是 0 至 180 度之间的正弦函数的平均值。
至于为什么是这样？我就懒得解释了。因为事情到了这个地步，已经再清楚不过了，您要是还没有想明白，那就再想想，再想想……

随便112 · 发表于 2011-12-31 12:54

这个题目别人问的我想就是这个答案，我记得在哪看过，我真解答不出来，请lu老师帮忙谢谢

luyuanhong · 发表于 2011-12-31 17:55

谢谢天山草前面所作的探索工作，给了我很多启发。
下面我的推导，有些另类，不是那么“理直气壮”，欢迎网友给出更正规更严格的推导：

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