已知在 ΔABC 中，AB×AC=15 ，∠A 的角平分线长度为 3 ，求 ΔABC 面积的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

dodonaomikiki

极好的题目！好玩又有趣！

王守恩

dodonaomikiki 发表于 2017-11-11 15:34
极好的题目！好玩又有趣！

1，我们有(平时积累)：当b=c时， ΔABC 面积有最大值。
2，当b=c时， ΔABC 是等腰三角形，顶角∠A 的角平分线平分BC于点D。
3，在直角 ΔABD中，已知AB=(根号15)，AD=3，BD=(根号6)。
4，ΔABC 面积最大值=3×(根号6)×2÷2=3(根号6)。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

dodonaomikiki

王守恩 发表于 2017-11-11 18:20
1，我们有(平时积累)：当b=c时， ΔABC 面积有最大值。
2，当b=c时， ΔABC 是等腰三角形，顶角∠A 的角 ...

请问：下面这句，怎么来证明？

我们有(平时积累)：当b=c时， ΔABC 面积有最大值

王守恩

1，过D作AB的平行线交AC于G。设GD=GA=k   b/(b - k)=c/k   k=15/(b+c)
2，余弦定理  cos∠DAG=9/(6k)  为使cos∠DAG尽可能小，k要尽可能大
         由 k=15/(b+c)   可知当b=c时  k是最大的。

dodonaomikiki

王守恩 发表于 2017-11-13 12:29
1，过D作AB的平行线交AC于G。设GD=GA=k   b/(b - k)=c/k   k=15/(b+c)
2，余弦定理  cos∠DAG=9/(6k)  ...

很机智的作法！谢谢~~~非常机智


一开始，我以为，这里有一个什么定理！结果，并没有，呵呵~~~~

王守恩

dodonaomikiki 发表于 2017-11-13 16:47
很机智的作法！谢谢~~~非常机智

                再往前走一走！
1，我们把bc=15改成bc=n，AD=3改成AD=m。
2，当n≤2m^2时，b=c=(根号n)，ΔABC 面积有最大值，求法见上。
3，当n>2m^2时，b≠c，ΔABC 面积有最大值n，b,c求法:
      bc=n  b/(b - k)=c/k  ，其中k=(根号2)m/2