请问陆教授怎么证明连续函数必可积

simpley

有的书还说可积必有界,为什么x^(-1/2)在(0,1)中无界

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/02/04 11:50pm 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2012/02/04 05:35pm 发表的内容：
有的书还说可积必有界,为什么x^(-1/2)在(0,1)中无界

可以证明：在闭区间上连续的函数，必定在这闭区间上有界，可积。
但是，在开区间中的连续函数不一定在开区间中有界，也不一定可积。
例如，1/√x 在 (0,1) 中连续，但 1/√x 在 (0,1) 中无界。
1/x 在 (0,1) 中连续，但 1/x 在 (0,1) 中无界而且不可积。
下面证明闭区间上的连续函数必定可积：

simpley

请问为什么要用上、下确界的概念,用最大值和最小值不行吗

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/02/05 01:45pm 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2012/02/05 11:43am 发表的内容：
请问为什么要用上、下确界的概念,用最大值和最小值不行吗

simpley

陆教授上面所举的例子是一个不连续的函数,对于连续函数而言,是不是可以说,上、下确界等价于最大值和最小值呢?
如果是这样,那么在证明闭区间上的连续函数必定可积时,就不用上、下确界这个概念了吧.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在 时添加 -=-=-=-=-
另外我认为陆教授的证明中最后有一点瑕疵:lim(s1-s2)=0,还须证明lims1\lims2存在,才能说lims1=lims2
可证s1是减函数且有界,且>=s2,所以有极限.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/02/05 06:23pm 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2012/02/05 03:17pm 发表的内容：
陆教授上面所举的例子是一个不连续的函数,对于连续函数而言,是不是可以说,上、下确界等价于最大值和最小值呢?
如果是这样,那么在证明闭区间上的连续函数必定可积时,就不用上、下确界这个概念了吧.-=-=-=-=-
另外我认为陆教授的证明中最后有一点瑕疵:lim(s1-s2)=0,还须证明lims1\lims2存在,才能说lims1=lims2
可证s1是减函数且有界,且>=s2,所以有极限.

Riemann 可积的定义，要适用于各种函数，所以定义中必须用上确界、下确界，
不能用最大值、最小值。我们证明“闭区间上连续函数必定可积”时，要完全
符合 Riemann 可积的定义，所以也必须说上确界、下确界。
你指出我证明中遗漏了证明 limS1 或 limS2 的极限存在，是对的，谢谢指出！
当然要证明也不是很难，正如你说的，S1 随着分点加密单调下降，但因为连续
函数在闭区间中有下界，所以 S1 也必有下界，所以必有极限。