已知在 [0,n] 内3点中任意两点的距离都不小于 1 的概率大于 1/2 ，求 n 的最小值

luyuanhong

随便112

非常感谢老师 发现好像概率就等同于n-2边长的立方体体积除以n边长的体积，这有什么好解释的吗

luyuanhong

一般来说，在长度为 n 的区间内，k 个随机点相互之间距离都大于 1 的概率为
                   (n-k+1)^n/n^k = ［1-(k-1)/n］^k 。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/02/07 10:14pm 第 3 次编辑]


在 x 轴的 [0，n] 区间内任给三个点 A=x1，B=x2，C=x3。
当 n = 9.6946442 时，求任两点之间的距离均不小于 1 的概率是多少？
模拟的结果是 0.4999971，与楼主的理论结果 0.5 一致。
模拟程序如下：
    a = 2 ^ (1 / 3)
    n = 2 / (1 - 1 / a)        
    m = 0: k = 0
    For i = 1 To 100000000
     m = m + 1
     X1 = n * Rnd  ';产生 (0,n) 之间的随机数
     X2 = n * Rnd  ';产生 (0,n) 之间的随机数
     X3 = n * Rnd  ';产生 (0,n) 之间的随机数
     If Abs(X1 - X2) > 1 And Abs(X1 - X3) > 1 And Abs(X3 - X2) > 1 Then k = k + 1
     
    Next i
    ？ "p ="; k / m

EhomeS

受教了、非常感谢！

天山草

没有看懂楼主在 1 楼的那个证明。
原题说的是 [0，n] 区间，为什么要“扩展到”三维空间的正方体去证明呢？