【讨论】用随机数模拟法求圆周率的值——有哪些具体方法

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/02/08 11:09am 第 8 次编辑] [color=#DC143C] 方法一：    在平面直角坐标系中画一个半径为 R = 1 的圆，在圆与 x、y 两坐标轴的四个相交点各作一条切线，四条切线围成一个正方形。    在上述正方形内随机取一个点，问：该点落入圆内的概率是多少？    显然概率 p = π* R^2/(2R * 2R) = π/4    概率的 4 倍即是圆周率的值。    以下用编程模拟：    编程思路——先产生一个随机数 x 在 -1 至 +1 之间。再产生一个随机数 y 在 -1 至 +1 之间。统计点（x,y）落在圆内的次数与总试验次数的比，当总次数很大时，就得到所求的概率。如何知道那个点是落在圆内了呢？很简单，只要 x^2 + y^2 小于 1 ，就是在圆内。    程序如下：     m = 0  ';总试验次数     n = 0  ';试验点落在圆内的次数     For i = 1 To 100000000   '; 试验 1 亿次      m = m + 1      x = 2 * Rnd - 1 ';产生 -1 至 +1 之间的随机整数      y = 2 * Rnd - 1 ';产生 -1 至 +1 之间的随机整数      If x ^ 2 + y ^ 2 <= 1 Then n = n + 1     Next i     pi = 4 * n / m   ';统计结果     Print pi         ';打印结果   程序运行结果： π≈ 3.14158848 [color=#DC143C] 方法二：    在平面上画许多间隔距离等于 2 的平行线，用一根长度等于 1 的针从高处往这个平面上投放。共投针 N 次，其中与任一条平行线相交的次数为 n 次。当试验次数足够多时，N/n 的值就大约等于圆周率之值。[color=#FF00FF]    这个模拟程序如何编写？我还没有想出个头绪。    下面是从网上摘来的——布丰用投针法得出圆周率的故事：    1777年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。    试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。”    客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来再扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总次数2212与相交次数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”    客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”    布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值呢。” 那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？    一根针往【一组平行线】上投放时，针上的任意两点正好落在平行线上的“概率”是相同的。如果这根针不太直，是明显弯曲的，上述结论仍然正确。这就是概率论中的“机会均等原理”。    按照这个原理，假设那组平行线的间距等于d，如果把一个直径为d的铁丝圆圈（它的周长等于πd）往平面上扔，无论圆圈落在哪里，都会跟平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n，交点的总数必定是2n。    现在把铁丝圈剪开拉直，变成长度是πd的一根针。用这根针进行投针试验时，针与平行线相交的情形就复杂多了：交点数可能有4个、3个、2个、1个，也可能一个交点也没有。不过，如果只统计总的交点数，就不用每种情况逐个分析统计，再最后汇总相加。这是由于，圆圈的周长跟“长针”的长度相同，根据概率论的“机会均等原理”，这根“长针”扔下n次时，与平行线相交的交点总数也应该大致为2n 个。    现在把“长针”剪短到原长的k分之一，变成长度是πd/k时，则扔针n次，交点总数就会按比例减小到2n/k个，没错吧？这时，投针总次数/交点数 = k/2。    令针的长度πd/k = d/2，也就是等于平行线间隔距离的一半，则 k=2π，此时，投针总次数/交点数 = k/2 = 2π/2 =π。    因此，布丰先生玩的把戏就是，让针的长度等于平行线间隔距离的一半，则投针总次数与相交次数之比就是圆周率的值了。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/02/08 08:34pm 第 2 次编辑]

期望能写出“投针求圆周率”程序的网友，能将其程序展示出来，大家互相交流交流。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/02/08 10:42pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2012/02/08 08:33pm 发表的内容：
期望能写出“投针求圆周率”程序的网友，能将其程序展示出来，大家互相交流交流。

投针试验相当于在一个［0,π］×［0,1］的长方形区域中随机投点 (x,y) ，统计
满足 y≤sinx 的点数，与总的投点数之比，所以很容易编写出一个计算机模拟程序：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2012/02/08 11:20pm 第 1 次编辑]

谢谢陆教授的精彩分析！