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[这个贴子最后由任在深在 2013/11/06 10:30am 第 2 次编辑]
[watermark]求证 齐次不定方程 (1)  Xˆn+Yˆn=Zˆn,  当n≥3,无整数解。
 证:
   在直角三角形ABC中两个直角边 AB=√Xˆn,BC=√Yˆn,斜边 AC=√Zˆn
   由勾股定理知
                 AB2+BC2=AC2
  即   (2)(√Xˆn)2+(√Yˆn)2=(√Zˆn)2
      1.当 n=1时得:
       (3) (√X)2+(√Y)2=(√Z)2,  即 X+Y=Z,有无穷多组解。
      2.当 n=2时
     
      (4) (√X2)2+(√Y2)2=(√Z2)2, 即 X2+Y2=Z2,
   是勾股方程,当 X=2MN,Y=M2-N2,Z=M2+N2,M,N为整数,M>N,(M,N)=1有无穷多组解。
     3.当 n≥3时
      (5) Xˆn+Yˆn=Zˆn,
是费尔马大猜想,因为上述各式都符合勾股定理,假设它们有整数解,则必须符合勾股数,
即 X=2MN,Y=M2-N2,Z=M2+N2.
  1) 把勾股数代入勾股方程得:
    (2MN)2+(M2-N2)2=(M2+N2)2
     22(MN)2=(M2+N2)2-(M2-N2)2
     22=[Mˆ4+2(MN)^2+N^4-Mˆ4+2(MN)ˆ2-Nˆ4]/(MN)2
     22=22[(MN)2/(MN)2]
     22=22
  此时 M,N可以是任意符合勾股数的整数,等式两边都相等!因此有无穷多组整数解。
   2)把勾股数 X=2MN,Y=M2-N2,Z=M2+N2代入 n=3的方程中得:
  (2MN)3+(M2-N2)3=(M2+N2)3
  23(MN)3=(M2+N2)3-(M2-N2)3
  23=[Mˆ6+3Mˆ4N2+3M2Nˆ4+Nˆ6-Mˆ6+3Mˆ4N2-3M2Nˆ4+Nˆ6]/(MN)3
  23=(6Mˆ4N2+2Nˆ6)/(MN)3
  23=6(M/N)+2(N/M)
此时方程两边若相等却有整数解 则 M=N,M/N=1或N/M=1,而 M=N,Y=M2-N2=0,即 X3=Z3,X=Z,因此只有XYZ=0的平凡解!没有整数解。
  3)把勾股数 X=2MN,Y=M2-N2,Z=M2+N2,代入 n=4的方程中得:
(2MN)ˆ4+(M2-N2)ˆ4=(M2+N2)ˆ4
2ˆ4(MN)ˆ4=(M2+N2)ˆ4-(M2-N2)ˆ4 (展开太长略)
2ˆ4=[8Mˆ6N2+8M1Nˆ6]/(MN)ˆ4
2ˆ4=8(M/N)2+8(N/M)2
此时方程两边若相等却有整数解,必须M=N,M/N=1或N/M=1,那么Y=M2-N2=0,因此Xˆ4=Zˆ4,
X=Z,只有XYZ=0的平凡解。
事实是当方程展开后左边=2ˆj,右边各项的系数和符合杨辉三角和。
即
(a+b)o                        1                       1=2o
(a+b)1                     1      1                   2=21
(a+b)2                   1     2    1                 4=22
(a+b)3                1     3     3    1              8=23
 *                 *    *     *     *    *              *
(a+b)ˆj           *   *    *     *     *    *          2ˆj
(a+b)ˆ(j+1)    *    *   *   *      *     *      *       2ˆ(j+1)
因此
  4)当 n=j时
 2ˆj=a(M/N)ˆα+b(N/M)ˆβ+,,,+c(M/N)ˆγ,当M=N,M/N=1或N/M=1,则:
   左边=2ˆj,
 右边=a+b+,,,+c=2ˆj
因为M=N,所以Y=M2-N2=0,此时只有XYZ=0的平凡解,没有整数解。
 5)当 n=j+1时
   2ˆ(j+1)=d(M/N)ˆε+e(N/M)ˆζ+,,,+f(M/N)ˆη,当M=N,M/N=1.或N/M=1,则
   左边=2ˆ(j+1)
   右边=d+e+,,,+f=2ˆ(j+1)
同理此时方程只有 XYZ=0的平凡解,没有整数解。
  以上在 n≥3之后 不定齐次方程:
 Xˆn+Yˆn=Zˆn,只可能有,XYZ=0时的平凡解,没有整数解,因此费尔马大猜想成立!
  证毕。
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