设 0≤p,q≤1 ，p+q=1 ，m,n 是正整数，求证：(1-p^m)^n+(1-q^n)^m≥1

luyuanhong

luyuanhong

上面得到的结果，还可以进一步推广：

nlrte

这就是传说中的“形”与“数”么？有意思^^

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2012/03/03 00:11pm 第 4 次编辑]

俺以为应该是形与数！
只不过陆教授没有用“形与数”的思维去考虑！
如果用形与数的思维去考虑，则问题会更简单化！
注： 1是单位元！ P,Q分别是分数单位，而分数单位的任何次方都比原分数更小直到趋于0.
     而且 P+Q=1，即P,Q值是互相制约的。
设 0≤p,q≤1 ，p+q=1 ，m,n 是正整数，求证：(1-p^m)^n+(1-q^n)^m≥1
证
1.当 P=0，Q=1时
   (1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm=(1-0)ˆn+(1-1ˆn)ˆm=1-0=1,命题成立。
2.假设 P=Q=1/2
    则
      (1-(1/2)ˆm)ˆn≤1，(1-(1/2)ˆn)ˆn≤1
    当 m=n=1时：
      
      (1-(1/2)ˆm)ˆn+(1-(1/2)ˆm)ˆn=1/2+1/2=1，命题成立。
那么：
当 m≠n时：
      1≤(1-(1/2)ˆm)ˆn+(1-(1/2)ˆm)ˆn＜2
3.令 P=1/a,  Q=1/b, 即 1/a+1/b=1,   a＞1；b＞1.
因此
        [1-(1/a)ˆm]ˆn≤1，[1-(1/b)ˆn]ˆm≤1
       此时 当  (1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
            或  (1/a)ˆm→1;则 (1/b)^n→0 （分数幂的性质）
所以        
         1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
   即
          (1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm≥1
  证毕。
       不知对否？欢迎批评指教！
0--Ap---------1/2-----Bq-----1,Ap=(1-Pˆm)ˆn,Aq=(1-Qˆn)ˆm(1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
-----------→     ←----------
1--Aq---------1/2-----Bp-----0,Bp=(1-Pˆm)ˆn,Bq=(1-Qˆn)ˆm,(1/a)ˆm→1;则 (1/b)ˆn→0
                     

nlrte

如果
“
当  (1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
或  (1/a)ˆm→1;则 (1/b)^n→0
所以        
        1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
”
成立，
那么，下面内容也成立
令 (1/a)ˆm + (1/b)ˆn = 1， 这显然满足条件：
“当  (1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
或  (1/a)ˆm→1;则 (1/b)^n→0”
则
1-Pˆm = 1-(1/a)ˆm = (1/b)ˆn = Q^n
1-Q^n = 1-(1/b)ˆn = (1/a)^m = P^m
那么，
1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
等价于
1≤ (Q^n)^n + (P^m)^m ＜2，
这显然是错误的
所以，原推导是不正确的
不能由
“
当  (1/a)ˆm→0;则 (1/b)ˆn→1
或  (1/a)ˆm→1;则 (1/b)^n→0
”
推导出
“
所以        
        1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
”

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2012/03/03 11:38am 第 2 次编辑]

》》》那么，
1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
等价于
1≤ (Q^n)^n + (P^m)^m ＜2，
这显然是错误的《《《
请您注意！不等价！
1.首先您有一小小的笔误，
   (1-(Pˆm)ˆn ~ Pˆmn
   (1-(Qˆn))ˆm ~ Qˆmn
2.因为 P+Q=1
  所以 当仅当m=n=1时
       Pˆmn+Qˆmn=P+Q=1，
3.因此
       1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
绝不能等价于
       1≤ (Q^n)^n + (P^m)^m ＜2，
即     1≤ (Q^n)^m + (P^m)^n ＜2，
只能  1≥ Pˆmn+Qˆmn=P+Q=1，
所以 只有在  （1-Pˆm）ˆn→0; （1-Qˆn）ˆm→1
         即 （1-Pˆm）ˆn=δ,    0＜δ≤1/2
            （1-Qˆn）ˆm=α,    1/2≤α﹤1
        或  （1-Pˆm）ˆn→1; （1-Qˆn）ˆm→0
         即  （1-Pˆm）ˆn=δ,    1/2≤δ＜1
             （1-Qˆn）ˆm=α,    0＜α≤1/2
     因此不等价！必须有 1的存在，其极限值才能等于 2，
     当Pˆm，Qˆn的极限值为0时，但是它们的极限值永远不为0！
     所以 只有    1≤(1-Pˆm)ˆn+(1-Qˆn)ˆm＜2
                 谢谢您的批评指教！
                 为了中国的数学！
                 为了今后学子们容易看懂数学，热爱数学，学好数学！
                 希望您多多的批评指教！
                 俺洗耳恭听！
  （无论以前还是现在，许许多多的孩子们一看见数学就头疼，不愿意学习？更有甚者，据说某大学新入学的数学系的一名男同学，由于大学的数学晦涩难懂，在和父母见一面之后就自杀了！虽然这是个例，也很让人们寒心那！更值得让人们，尤其是数学界的人们深思！！）
         错误的数学亟待改革！
         中国，中国人民，中华民族的子孙在廿一世纪有这个机遇，更有这个责任！
                                        谢谢！


[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
补充：
     因为 P+Q=1
          P≠Pˆm ,m＞1
          Q≠Qˆn, n＞1,  m≠n
    所以
        Pˆm+Qˆn≠1  
    因此 1-P=Q
      或 1-Q=P
   而    1-Pˆn≠Qˆm   m≠n
         1-Qˆm≠Pˆn
    当仅当 P=Q=1/2，m=n=1
  即 1-1/2=1/2
     P+Q=1/2+1/2=1.
     此为特列上面已经举例。
如：
   P=1/3， Q=2/3
   P²=(1/3)²=1/9
   Q²=(2/3)²=4/9
   P²+Q²=1/9+4/9=5/9≠1.
其他就不必一一举例了吧？
            谢谢！

九章传人

下面引用由任在深在 2012/03/03 09:29am 发表的内容：
俺以为应该是形与数！
只不过陆教授没有用“形与数”的思维去考虑！
如果用形与数的思维去考虑，则问题会更简单化！
注： 1是单位元！ P,Q分别是分数单位，而分数单位的任何次方都比原分数更小直到趋于0.
...

你的这个证明是错的。前两段属于举例（特殊的p,q,），不算证明；后一段采取了极限，而且没有涉及到p+q=1的条件，这个肯定是不对的。对你的过程，不需细看，但看这些就知道是错的，原因是，第一，这个问题与极限无关，它对任意的m，n都对；第二，这个问题必须要求p+q=1,否则很容易知道结论是错的。

任在深

下面引用由九章传人在 2012/03/03 11:16am 发表的内容：
你的这个证明是错的。前两段属于举例（特殊的p,q,），不算证明；后一段采取了极限，而且没有涉及到p+q=1的条件，这个肯定是不对的。对你的过程，不需细看，但看这些就知道是错的，原因是，第一，这个问题与极限　...

请注意！俺所说的极限是指的过程，不是极限值！
        既然您不需细看，俺也就不必对您的意见和建议去细品！

         您关注了一点点，俺也表示感谢！
                                             谢谢九章传人！
                                             祝愿您能成为真正的九章传人！！

moranhuishou

棋逢对手  浆与凉菜

任在深

下面引用由moranhuishou在 2012/03/03 00:15pm 发表的内容：
棋逢对手  浆与凉菜

狗肉生蛆 一盘癈菜！