关于一个三点共线的解析几何题

wozys

已知C：x^2/4 - y^2/12 = 1。
l是过右焦点的直线，且与C右支交于M，N两点。P点是M关于X轴对称的点。B是右准线和X轴交点。
求证：B,P,N三点共线。
  当我把l设为 y=tx+4可以得到B,P,N共线
  但是，如果把l设 为y=k(x-4) 却得不到这个结论，难道这两种设法有什么不同吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/03/06 00:06am 第 1 次编辑]

此题解答如下：

wozys

我仔细看了你的解答过程，是正确的，但如果用高中的一般方法，看上去存在一些问题。 如下：
l;y=k(x-4)  C:3x^2-y^2-12=0
  联立 (3-k^2)+8k^2x-16k^2-12=0
有 x1+x2=-8^k2/(3-k^2)    x1x2=(-16k^2-12)/(3-k^2)
  用向量共线
(x1-1,-y1)=i(x2-1,y2)
即(x1-1)y2+y1(x2-1)=k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x2-4)=k[2x1x2-5(x1+x2)+8]=0
但事实上并不为0.

用同样的方法设Y=TX+4却能得到为0. 是我算错了吗？

luyuanhong

下面引用由wozys在 2012/03/05 00:12pm 发表的内容：
我仔细看了你的解答过程，是正确的，但如果用高中的一般方法，看上去存在一些问题。 如下：
l;y=k(x-4)  C:3x^2-y^2-12=0
  联立 (3-k^2)+8k^2x-16k^2-12=0
有 x1+x2=-8^k2/(3-k^2)    x1x2=(-16k^2-12)/( ...

  2x1x2-5(x1+x2)+8
=［2(-16k^2-12)-5×(-8k^2)+8(3-k^2)］/(3-k^2)
= (-32k^2-24+40k^2+24-8k^2)/(3-k^2)
= 0

llz2008

2楼图中，设PM与x轴的交点为A，过N点作x轴的垂线，垂足为C点，由双曲线第二定义得NF/BC=MF/BA 即NF/MF=BC/BA=NC/MA=NC/PA ,所以，B,P,N三点共线。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/03/06 00:10am 第 1 次编辑]

楼上 LLZ2008 给出的证法很好！下面是这种证法的详细步骤：