请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/01 08:34am 第 1 次编辑]

我们知道，射影几何和欧氏几何的直线模型有一点不同，这就是在欧氏几何的直线模型上添加了一个无穷远点，就成为射影几何的直线模型了。
我的疑问是：射影几何的直线模型实际上暗含了这样的一个等式：-∞＝+∞，但是，这样一来，是不是就可以得出以下的矛盾：
对任意两个不同的实数a，b，既有a＜b，又有a＞b.
恭请陆老师解惑。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/01 11:22am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/01 08:33am 发表的内容：
我们知道，射影几何和欧氏几何的直线模型有一点不同，这就是在欧氏几何的直线模型上添加了一个无穷远点，就成为射影几何的直线模型了。
我的疑问是：射影几何的直线模型实际上暗含了这样的一个等式：-∞＝+∞，但是，这样一来，是不是就可以得出以下的矛盾：
对任意两个不同的实数a，b，既有a＜b，又有a＞b.
恭请陆老师解惑。

    欧氏几何直线上的点，可以与全体实数集合 R 建立一一对应关系。
    我们知道，全体实数集合 R 是一个“全序集”，它有下列 4 条性质：
（一）若 a∈R ，则有 a≤a 。
（二）若 a ,b∈R ，a≤b 且 b≤a ，则必有 a＝b 。
（三）若 a ,b ,c∈R ，a≤b 且 b≤c ，则必有 a≤c 。
（四）若 a ,b∈R ，则 a≤b 与 b≤a 两式中至少有一式成立。
    在实数集 R 中，显然不可能同时成立 a＞b 和 a＜b 。
    射影几何直线，比起欧氏几何直线来，多了一个“无穷远点”，所以，
它对应于全体实数集合 R ，再加上一个无穷大元素 ∞ 。
    在射影几何中，规定这个无穷大元素 ∞ ，既是 +∞ ，又是 -∞ 。
这样，对于一个实数 a∈R 来说，就会出现既有 a＞-∞＝∞ ，又有
a＜+∞＝∞ 的情况。
    所以，如果把 R 与 ∞ 放在一起，构成一个集合，那么，这样一个
扩大的集合 { R ,∞ } ，就不可能再是“全序集”了。
    这对于射影几何来说，不是很大的问题，因为射影几何一般不考虑
与射影直线上的点对应的数的大小次序问题。如果真要考虑大小次序，
也很容易，只要去掉射影直线上一个点，也就是去掉集合 { R ,∞ } 中
的一个元素，就可以使得剩下的元素构成一个“全序集”，这样就可以
比较大小了。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/01 04:38pm 第 1 次编辑]

谢谢陆老师！
我的疑问是：数学是特别讲究一致性的，而在射影几何中竟然能够得出 a＞b 和 a＜b 同时成立的矛盾，这不是破坏一致性了吗？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/01 11:20am 发表的内容：
在实数集 R 中，显然不可能同时成立 a＞b 和 a＜b 。
   在射影几何中，规定这个无穷大元素 ∞ ，既是 +∞ ，又是 -∞ 。这样，对于一个实数 a∈R 来说，就会出现既有 a＞-∞＝∞ ，又有a＜+∞＝∞ 的情况。
   这对于射影几何来说，不是很大的问题，因为射影几何一般不考虑与射影直线上的点对应的数的大小次序问题。如果真要考虑大小次序，也很容易，只要去掉射影直线上一个点，也就是去掉集合 { R ,∞ } 中的一个元素，就可以使得剩下的元素构成一个“全序集”，这样就可以比较大小了。

请问陆老师：您能否解释一下为什么“只要去掉射影直线上一个点”，射影几何的这个问题就被消除了呢？难道说“去掉射影直线上一个点”，还能叫射影几何吗？
这个问题确实令人难以理解啊！

luyuanhong

    与射影直线上的点对应的数的全体，不是一个“全序集”，不能排序，其实
这没有什么奇怪，在数学中或在现实生活中，有许许多多集合，都是不能排序的，
例如：
    一个圆周上全部的点组成的集合；
    一个球面上全部的点组成的集合；
    全体复数组成的集合；
    全体矩阵组成的集合；
    定义在实数轴上的所有函数组成的集合；
      ……
所以，不能因为射影直线上的点不能排序，就说它“破坏了一致性”。
    在射影几何中，不考虑与射影直线上的点对应的数的大小次序问题，所以，
虽然射影直线上的点不能排序，但并不影响射影几何的研究。
    如果有人坚持一定要对射影直线上的点排序（这是额外提出的无理要求，与
射影几何无关），那么，我建议他可以这样做，就是：去掉射影直线上的一个点。
    比如说，可以去掉射影直线上与 ∞ 对应的无穷远点，这样射影直线上剩下
的点就可以与实数集合 R 对应，就可以排序了。
    又比如说，可以去掉射影直线上与 0 对应的点，保留与 ∞ 对应的无穷远点，
规定：凡是正数都小于 ∞ ，凡是负数都大于 ∞ ，当然，这样一来，任何负数也
都大于正数了，虽然与习惯不太一样，但是数学中只要不自相矛盾，这样的定义也
是允许的。这样，射影直线上除 0 点以外，剩下的点也可以排序了。
    再说一遍：射影直线上的点本来是不能排序的，硬要排序，是额外的无理要求，
要满足这样的额外要求，想对射影直线一点不破坏，那是不可能的。从射影直线上
去掉一个点，本来就是为了满足无理要求的另类做法，并不属于射影几何的内容，
与射影几何没有什么关系。

天茂

谢谢陆老师耐心的解释！我心中的疑惑彻底消除了！
不过，我认为“不能排序”和“没有排序”（可以排序，但没有人对其进行排序）还是有区别的。
比如：全体复数组成的集合，就属于没有排序，而不是不能排序。
不知陆老师同意否？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/02 03:07pm 发表的内容：
谢谢陆老师耐心的解释！我心中的疑惑彻底消除了！
不过，我认为“不能排序”和“没有排序”（可以排序，但没有人对其进行排序）还是有区别的。
比如：全体复数组成的集合，就属于没有排序，而不是不能排序。
不知陆老师同意否？

    在数学中，大家公认的一种说法是“复数不能比大小”，也就是说，复数
是不能排序的。
    但是，也有人对复数提出过一种“字典式排序”方法：
    对两个复数，先比较它们的实部，实部大就大，实部小就小。如果实部
相等，再比较它们的虚部，虚部大就大，虚部小就小。
    这样，确实可以做到对全体复数排序。但是，有一些原来在实数中成立
的不等式公式，对复数就不一定成立了，例如下列公式：
    当实数 a＞0 ，b＞0 时，必有 ab＞０ 。
    但是，当复数 1+i＞0 ，1+2i＞0 时，却有 (1+i)(1+2i)=-1+3i＜0 。
    可能正是由于这样的原因，所以数学中并不接受这种“字典式排序”。

天茂

谢谢陆老师耐心地讲了这么多的数学知识，使我受益匪浅。
不过，我还有一个疑问：
欧氏几何的直线模型+无穷远点→射影几何的直线模型（一条封闭的圆）
欧氏几何的平面模型+无穷远直线→射影几何的平面模型（一个封闭的球）
但事情并非如此简单，假如我们用另外一种方式来生成射影几何的平面模型，就会出现问题：
我们先截取欧氏几何平面模型的一部分——一条无限长的宽带，然后再加上一个无穷远元素将其扩充为射影几何平面模型的一部分。这样会出现两种扩充方式：
一种是扩充为正常的封闭圆环带，这样再继续扩成完整的平面，就是一个封闭的球；
另一种是把带子扭一下扩充为莫比乌斯带，这样再继续扩成完整的平面，就似乎是一个封闭的克莱因瓶。
请问陆老师：球和克莱因瓶，到底哪个算射影几何的平面模型呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/03 01:25am 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/02 07:34pm 发表的内容：
谢谢陆老师耐心地讲了这么多的数学知识，使我受益匪浅。
不过，我还有一个疑问：
欧氏几何的直线模型+无穷远点→射影几何的直线模型（一条封闭的圆）
欧氏几何的平面模型+无穷远直线→射影几何的平面模型（一个封闭的球）
但事情并非如此简单，假如我们用另外一种方式来生成射影几何的平面模型，就会出现问题：
我们先截取欧氏几何平面模型的一部分——一条无限长的宽带，然后再加上一个无穷远元素将其扩充为射影几何平面模型的一部分。这样会出现两种扩充方式：
一种是扩充为正常的封闭圆环带，这样再继续扩成完整的平面，就是一个封闭的球；
另一种是把带子扭一下扩充为莫比乌斯带，这样再继续扩成完整的平面，就似乎是一个封闭的克莱因瓶。
请问陆老师：球和克莱因瓶，到底哪个算射影几何的平面模型呢？

射影平面的闭曲面图像，既不是球面，也不是克莱因瓶，而是一种戴着“交叉帽”的单侧曲面。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/04 11:10am 第 1 次编辑]

原来是这样！
我以前一直以为完全封闭的单侧曲面只有克莱因瓶一种，现在看来不是这样的。
我在3daxmax软件中试着看能否做出这个曲面来，到了“如下图”这一步，似乎有点弄不下去了。
要想把BB';、CC';、DD';都连接起来，好像两边都要扭一下，这个似乎和莫比乌斯带的做法很类似。

请陆老师指导。