[求助]日常生活中的趣题

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一，一个橡皮做的半球形碗，如果在碗口不断下压，可以将碗的内部翻出来变成外部，外部变成内部。是否它的形状仍是半球形不变？这个怎么用数学证明？
二，一条橡皮筋弹性很好，现在将中间的一个点做上标记。现在请证明，将橡皮筋拉长后（每次拉长长度可不同，仍保持弹性），再收缩回原来长度，这个点仍在原来位置不变；
三，请证明，任意一个不规则几何体，用刀切或者用锯子锯成两部分，这两部分总可以做到体积相等（形状可不等）；
四，一个橡皮膜，可以用嘴吹成气球。假如气球可以无限吹大，问这个无限吹大的气球形状一定是球形而不是别的形状吗？可以证明吗？
五，用两次悬挂法可以测出不规则薄板的重心（假定薄板质量是均匀的），这个能否在数学上证明？

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还有一些：
一，一张边长为1的正方形薄纸（厚度忽略不计），能否经过若干次折叠后变成一个球？规定纸张不能裁剪。能不能做到呢？
二，一个空心立方体，假如内部表面全是由镜子组成的。一束点光源从立方体外部通过立方体表面一小洞射入立方体内部，问能否全部照亮内部？能证明吗？若改成空心球又如何？
三，两个体积不等的几何体A,B互相粘连，假如几何体富有弹性，可大可小，也可以任意改变形状。问这两个几何体可以互相包容对方吗？
四，一个空心橡皮球，可以任意改变形状。球表面无裂缝，材料厚度也可以忽略不计，问球的内部可不可以以翻到外部来呢？（不破坏球体）如果做不到，该怎么证明呢？
有高手能解决吗？

熊一兵

拓朴能搞定！！！