给张彧典所发美国人给出的12个图的4—着色

雷明85639720

给张彧典所发万春如所译的美国数学学会会刊所刊的文章《对部分染色地图的一组操作》中所给12个图的4—着色
雷  明
（二○一七年十二月七日）

最近张彧典先生其博客中转发了由万春如翻译的刊登在美国数学学会1935年第41卷第6期第407～413页中的文章《对部分染色地图的一组操作》一文，张先生没有对其进行任何评论，只是指出了其中的图11中的一点小错误。不知是原作者的原著没有说明白，还是万春如的翻译没有译明白，总之我没有看明白文章对其中所给出的12个图的结论是什么，也不知道作者是否能对这12个图进行4—着色。不管原作者是否对其进行了4—着色，笔者都想用自已的理论对其进行一下4—着色（文中把这些图称作是“染色困局”）。请网友们关注一下我对这些图的4—着色。作者的图1是一个示意性的图，现就其他的11个图进行4—着色如下（原文中的图2～图9八个图，都是同一个图——图2（如图1）的不同染色（即不同构形），只是后3个图比较特殊一点）：
1、原文中图2的对偶图如图2所示：
这是一个敢峰—米勒图。图中峰点2着色为A，两个同色B分别在顶点1和3上，图中有经过顶点1—2—3的环形的A—B链，没有经过顶点4—5和6—7的环形的C—D链，属于我的a类H—构形。交换A—B环形链内、外的任一条C—D链，都可使图变成可同时移去两个同色B的K—构形（如图2—1、图2—2和图2—3、图2—4）。



2、原文中图3的对偶图如图3所示：



这是一个类似赫渥特图型的图。图中峰点2着色为C，两个同色D分别在顶点1和3上，图中没有经过顶点1—2—3的环形的C—D链，但有经过顶点4—5和6—7的环形的A—B链，属于我的b类H—构形。交换A—B环形链内、外的任一条C—D链，都可使图中至少一条连通链断链，变成K—构形（如图3—1、图3—2和图3—3、图3—4）。
3、原文中图4的对偶图如图4所示：
这也是一个类似赫渥特图型的图。图中峰点2着色为C，两个同色B分别在顶点1和3上，图中没有经过顶点1—2—3的环形的C—B链，也只有经过顶点4—5和6—7的环形的A—D链，也属于我的b类H—构形。交换A—D环形链内、外的任一条C—B链，也都可使图中至少一条连通链断链，变成K—构形。该图的着色模式与图3的着色模式完全相同，只是把着B色顶点的颜色与着D色顶点的颜色互换了一下。解决有办法也完全相同，这里就不再画图了。

4、原文中图5的对偶图如图5所示：
这也是一个类似于敢峰—米勒图的图，只是两条连通链的交叉顶点由1个变成了3个，这个图也即是张彧典先生的《探秘》书中的图5.6。图中峰点2着色为D，两个同色B分别在顶点1和3上，图中有经过顶点1—2—3的环形的D—B链，没有经过顶点4—5和6—7的环形的C—A链，也属于我的a类H—构形。交换D—B环形链内、外的任一条C—A链，都可使图变成可同时移去两个同色B的K—构形。同样，该图的着色模式与张先生的图5.6的着色模式完全相同，只是把颜色进行了互换而已。解决有办法也完全相同，这里也就不再画图了。
5、原文中图6的对偶图如图6所示：


这也是一个类似赫渥特图型的图。图中峰点2着色为A，两个同色B分别在顶点1和3上，图中没有经过顶点1—2—3的环形的A—B链，也只有经过顶点4—5和6—7的环形的C—D链，也属于我的b类H—构形。交换C—D环形链内、外的任一条A—B链，也都可使图中至少一条连通链断链，变成K—构形（如图6—1、图6—2和图6—3、图6—4）。

6、原文中图7的对偶图如图7所示：

这是一个与图2完全一样的敢峰—米勒图。图中峰点2着色为，两个同色B分别在顶点1和3上，图中有经过顶点1—2—3的环形的C—B链，没有经过顶点4—5和6—7的环形的A—D链，属于我的a类H—构形。交换C—B环形链内、外的任一条A—D链，都可使图变成可同时移去两个同色B的K—构形。该图的着色模式与图2的着色模式完全相同，也只是把颜色进行了互换而已。解决有办法也完全相同，这里也就不再画图了。
7、原文中图8的对偶图如图8所示：

这个图是一个可以同时移去两个同色B的K—构形，并非H—构形。移去两个同色B后的结果如图8—1。
8、原文中图9的对偶图如图9所示：

这更是一个非H—构形的K—构形，可以移去任何一种颜色。空出颜色的结果有如下图9—1，图9—2，图9—3，图9—4四种。


9、原文中的图10如图10所示，对偶图如图11所示：
以上所研究的图2是一个左右对称的图，而这个图11却是一个任意的图，左右并不对称。图中也有两条交叉链A—C和A—D，不能通过一次或两次交换空出任何颜色。图中既没有环形的A—B链，也没有环形的C—D链，属于我的c类H—构形，也就是类似于张彧典先生的第八构形。这种构形只能用颠倒法（我叫做转型交换法）进行转形了，使图由123—BAB型转变成451—CDC型构形，或转变成345—DCD型构形。然后再视其类型再进行解决。


对图11从顶点1开始交换B—C链，进行逆时针颠倒，得到图11—1，是一个451—CDC型的类赫渥特图型的H—构形，图中有一条环形的A—B链，属于我的b类构形。
交换图11—1中A—B环内的C—D链，得图11—2，图中只有一条连通的D—B链，可以空出A，C，D三色之一（如图11—3，图11—4）。




对图11—1交换A—B环外的C—D链，也可得到只有一条C—B连通链的图（如图11—7），也可以空出A，C，D三色之一（如图11—8，图11—9，图11—10，图11—11）。





再对图11从顶点3交换B—D，进行顺时什颠倒，得到图11—12，这是一个345—DCD型的可以同时移去两个同色D的非H—构形的K—构形。

对图11—12从顶点5交换D—A链（如图11—13），移去一个D，再从顶点4交换D—B链，再移去一个D，空出了D（如图11—14）。


这个图10的着色成功，说明了我对c类构形的解决方法是正确的，进行颠倒后，不是转化成可以同时移去两个同色的K—构形，就是转化成我的b类构形，再用解决b类构形的方法就可解决。
10、原文中的图11如图12所示，其对偶图如图13所示：


这个图是一个左右非常对称的图。是一个c类构形（类似张彧典先生的第八构形），与一般不对称的图的解法大同小异，只是颠倒的次数需要三次才能使图变我所说的b类H—构形。其具体的解法可见我昨天发的《与张彧典先生共同讨论》一文，网址是：，或者去我的博客中去看，我的博客网址是：。在那里讲得更祥细一些。
11、原文中的图12如图14所示，其对偶图如图15所示：


这个图看似很复杂，左右对称也非常好，但却是一个可以同时移去两个同色B的K—构形。从顶点1交换B—C链，得到图15—1，移去了一个B，再从顶点3交换B—D链，再移去另一个B，空出了B（如图15—2）。


另外，图15中还有两个连通的C—D环形链，把A—B链分成了不连通的三个部分（如图15—3），具有我的b类构形的特征，交换任一部分A—B链，都可至少使图中连通的A—C链和A—D链之一断开，得到可以空出A，C，D三色之一的构形（如图15—4，图15—5，图15—6）。




现在我们把这个美国人提出的所谓的“染色困局”中的12种图都已4—着色完毕，我并不感到是什么“困局”。我对这12个图的染色完全是在我所构造的H—构形的a，b，c三类不可免构形的解法之内的。a类构形解决的方法是交换环形的A—B链之内、外的任一条C—D链，b类构形解决的方法是交换环形的C—D链之内、外的任一条A—B链，c类构形的解决方法是交换B—C链或B—D链，使构形变成可以同时移去两个同色的K—构形或者b类构形，再通过交换空出一种颜色来。
这个美国人写此文的目的是什么，最终要说明了一个什么问题，认为这些图是可4—着色的，还是不可4—着色的，我没有从文章中看出作者的结论。如果想用这十几个图来否定四色猜测，那是不可能的，我已经对这些图都进行了4—着色。我的着色并不是随机碰上的，而是以我自已构造的H—构形不可免集的理论为依据的。在分析了图的特征后，再确定其所属的构形类别，分别用解决各类构形的方法去进行解决，必然能一次着色得到成功。
最后，请张彧典先生介绍一下这篇文章的作者的初衷是什么，最终要得到一个什么样的结论。

雷  明
二○一七年十二月七日于长安

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，