谁是敢峰—米勒图的同胎姐妹？

雷明85639720

谁是敢峰—米勒图的同胎姐妹？
雷  明
（二○一七年十二月十八日）

最近张彧典先生多次在贴上发表所谓敢峰—米勒图的同胎姐妹图（如图1，敢峰—米勒图如图2），这个图是不是敢峰—米勒图的同胎姐妹图呢，我们用张先生划分构形类型的原则分析如下。

张先生划分构形类型的原则原来在《探秘》一书中的表述是“构形最小”、“解法相同”，现在在《解读〈对已部分4染色地图的一组操作〉》一贴中又表述成“‘构形最小、解法不同’（也就是‘如果若干构形具有相同解法，那么选取最小构形即可’）”。不管是那种说法，总的来说还是解法相同的图可归为同一类构形，解法不同的图则可归入不同类构形。但这里的“构形最小”却很难理解。按张先生所说，“构形最小”是指同一类构形中顶点数最小的那个构形。这个“最小构形”当然也就是一个图了。但我们在着色过中难道就不能遇到顶点数大于“最小构形”顶点数的同一类构形的图吗。所以我认为只要是具有相同结构特征的图，都是同一类型的构形。因为一个构形本身也就是一个具体的图，具有相同结构特征的图就是同一类构形。
应该说，既然是米勒图的同胎姐妹，就应于米勒图有相同的结构特征，那么现在就看张先生的图1符合不符合他所说的划分构形类别的条件。
首先这两个图是同一个图，但是不同结构的构形。图2的米勒图中有两条环形链A—B链和C—A链，且是两个同心园的布局，而图1中只有环形的C—D链，无环形的A—B链；米勒图中的A—B链有两条，一条是环形的，一条是直链，而图1中的两条A—B链都是直链：米勒图中的C—D链也有两条，一条是环形的，一条是直链，而图1中的C—D链只有一条，且是在环形链上连接有一条支链。还有一个不同的地方是，米勒图除两条连通链A—C和A—D有共同的起始顶点外，只有一个交叉顶点，而图1却有两个交叉顶点。这显然是不同的构形，不知张先生为什么能把两个图认为是同胎姐妹即同一类构形呢。
再看一看两个同的解决办法：
米勒图可以交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，使构形变成可以同时移去两个同色B的K—构形（如图3～图6），但图1能办到吗，能叫“解法相同”吗。图1交换了唯一的一条C—D链后，相当于把图中所有着C色与着D色的顶点颜色互换，构形仍是原来的构形，交换了C—D链不起任何作用（如图7和图8）。图1解决时只能交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链，使两条连通链A—C和A—D断链，变成可以空出任何颜色的K—构形（如图9和图10）。




根据以上的分析，能把图1说成是敢峰—米勒图的同胎姐妹图吗。
敢峰—米勒图有没有同胎姐妹图呢，有。它就是米勒图进行了第二次颠倒后所得的图。米勒图逆时针颠倒两次后得到的图如图11（如何变成这个图11的，张先生的《探秘》一书中全有）。该图需要变形后，才能与米勒图进行比较。首先把图中的A色顶点与B色顶点的颜色互换，也把图中的C色顶点与D色顶点的颜色互换，得到图12；再把图逆时针转动72度，得到图13；最后把图的顶点名称顺时针转动72度，得到图14。图14 就是敢峰—米勒图的同胎姐妹图。


现在再比较一下图2的敢峰—米勒图和图14这两个图的特征：两图都有环形的A—B链和环形的C—D链，两环形链也都成同心园式布局；两图的A—B链和C—D链均有两条，各一条是环形，另一条是直链，且直链与环形部分均不相连接；唯一不同的是敢峰—米勒图除两连通链的共同起始顶点外，只有一个交叉顶点，而图14则有三个交叉顶点。两图的结构是相同的，应该属于同一类构形。
另外，从两图的解法上看，也是完全相同的，按张先生的划分构形类别的原则，更应该是同一类的构形了。敢峰—米勒图的解法是交换A—B环形链内、外的任一条C—D链，可以使图变成可以同时移去两个同色B的K—构形，而图14 也是可以同样做到的（如图15～图 18）。


图14 与敢峰—米勒图的着色方法完全相同，结果也完全相同。所以我认为图14才是敢峰—米勒图的同胎姐妹图。现图是同“一类”构形，但不是同“一个”构形，因为他们的两连通链的交叉顶点多少并不相同。

雷  明
二○一七年十二月十八日于长安

注：此文已于二○一七年十二月十八日在〈中国博士网〉上发表过，网址是：