下列结论是否永远成立：“若 4^s 与 1 同余，模 2s+1 ，则 2s+1 恒为素数”？

luyuanhong

问题  下列结论是否永远成立：
      “若 4^s 与 1 同余，模 2s+1 ，则 2s+1 恒为素数”？

回答  虽然这一结论看起来好像在大部分情况下都成立，但是，它并不是永远成立的，下面举一个反例：
      当 s＝170 时，有
4^s＝4^170
＝2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115776
＝341×6568166399348399444449977362370804334667582103327417990909058947107894050381703652143335757394742275＋1。
    4^s 在模 2s+1＝2×170+1＝341 下，与 1 同余。
    但是，2s+1＝341＝31×11 并不是一个素数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/18 07:27am 第 1 次编辑]

下面引用由风花飘飘在 2012/05/18 01:15am 发表的内容：
谢谢！
看来费马小定理的确是有问题的。-=-=-=-=- 以下内容由 风花飘飘 在  时添加 -=-=-=-=-
把“必要”与“充要”弄混了！
反过来应该差不多：2r+1恒为素数，则4^r与1同余！

Fermat 小定理说的是：“若 p 是素数，a 与 p 互素，则 a^(p-1)≡1(mod p)”。
所以，当 p=2s+1 是素数，a=2 与 p 互素时，有 4^s=2^(2s)≡1(mod 2s+1) 。
Fermat 小定理并没有说：“若 a^(p-1)≡1(mod p)，a 与 p 互素，则 p 是素数”，
所以，不能说“若 4^s≡1(mod 2s+1)，则 2s+1 恒为素数”。

大傻8888888

真佩服luyuanhong 教授找到这样大的反例，我觉得即使想检验一下，计算量也是很大的。不过基本上可以判定任何关于素数的通项公式都是错误的。

wangyangkee

下面引用由风花飘飘在 2012/05/18 08:56am 发表的内容： 确实是我错了，低头认罪……
改过了。
昨天喝酒一整天，晕晕头转向了！

鲍丰武，意气用事和发酒疯少了；这就真的意气风发啦，，，

任在深

下面引用由大傻8888888在 2012/05/18 09:10am 发表的内容：
真佩服luyuanhong 教授找到这样大的反例，我觉得即使想检验一下，计算量也是很大的。不过基本上可以判定任何关于素数的通项公式都是错误的。

俺也佩服陆教授！
但是俺不用费那么大的事，就已经断定该原命题不为真！
  因为真的是：
              Pn=[(ApNp+48)½-6]²
而你的不负责任的胡说八道只能证明你是鼠目寸光，欠缺知识！

大傻8888888

下面引用由任在深在 2012/05/18 09:38am 发表的内容：
俺也佩服陆教授！
但是俺不用费那么大的事，就已经断定该原命题不为真！
  因为真的是：
              Pn=²
...

既然会长先生早已经断定该原命题不为真，为什么还让自己唯一的会员犯这样的错误，这不是给你们脸上抹黑吗？不过会长先生自己的圆周率这个命题肯定不为真，也就无所谓抹黑不抹黑了。

任在深

下面引用由大傻8888888在 2012/05/18 09:52am 发表的内容：
既然会长先生早已经断定该原命题不为真，为什么还让自己唯一的会员犯这样的错误，这不是给你们脸上抹黑吗？不过会长先生自己的圆周率这个命题肯定不为真，也就无所谓抹黑不抹黑了。

1.既然会长先生早已经断定该原命题不为真，为什么还让自己唯一的会员犯这样的错误，
  您说的对！
  那是对他的考验！
  俺说了那不就把俺在网上的唯一会员也给说跑了？
  别人指出来，他就不能怨俺了！
  他还是俺的会员！！而且是合格的会员！
2.不过会长先生自己的圆周率这个命题肯定不为真，也就无所谓抹黑不抹黑了。
  这个您肯定，啃错了！
  证明在网上有，你可以否证！
  否则千万不要不负责任的乱肯定！
                                      欢迎您批评指导！

大傻8888888

下面引用由任在深在 2012/05/18 10:33am 发表的内容：
1.既然会长先生早已经断定该原命题不为真，为什么还让自己唯一的会员犯这样的错误，
  您说的对！
  那是对他的考验！
  俺说了那不就把俺在网上的唯一会员也给说跑了？
...

我在上面被任在深先生认为是“不负责任的胡说八道只能证明你是鼠目寸光，欠缺知识”，这次又“ 欢迎您批评指导”，真是叫我哭笑不得。我只能肯定你的圆周率不是3.1415926......，其他的无可奉告。恕不奉陪！