多项式悖论

singinwind

令： S   = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ...
     X   =     1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 + ...
则： S+X = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 + ...
         = 1 + ( 2/2 + 2/4 + 6/6 + ...)
         = 1 + ( 1 + 1/2 + 1/3 + ...)
         = 1 + S
得：   X = 1
但是： 1-X = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ...
           = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ...
显然，上式括号中每一项都大于0，于是得： 1 - X > 0
所以又有： X < 1
问题在哪里？？？？

ygq的马甲

S   = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ...
因为 S 不是收敛的，即不是一个有限数

luyuanhong

下面引用由singinwind在 2012/06/06 02:16pm 发表的内容：
令： S   = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ...
     X   =     1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 + ...
则： S+X = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 + ...
        = 1 + ( 2/2 + 2/4 + 6/6 + ...)
        = 1 + ( 1 + 1/2 + 1/3 + ...)
        = 1 + S
得：   X = 1
但是： 1-X = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ...
          = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ...
显然，上式括号中每一项都大于0，于是得： 1 - X > 0
所以又有： X < 1
问题在哪里？？？？

楼上ygq的马甲说得对，问题出在“ S 不是收敛的，即不是一个有限数”。
如果我们接受非标准分析的观点，从非标准分析观点来看，还可以把这个问题看得更清楚一些。

singinwind

因为S不收敛，所以不行，这个虽然是正确的，但要如何证明，为何收敛就可以，这个说法并不能反映问题的实质。
我认为问题是出在：
         1 + ( 1 + 1/2 + 1/3 + ...)
       = 1 + S
这步，应该是 = 1 + S';。
其中： S = ∑1/n  ;  S'; = ∑1/m
当这两个S放在一个等式里求取极限时，我们不能割裂n与m的关系，分别单独取极限。
这是取极限算符自身的问题。既然取极限有这样的问题，求导和积分算符也应该会有类似的问题。

ygq的马甲

下面引用由singinwind在 2012/06/09 03:36pm 发表的内容：
因为S不收敛，所以不行，这个虽然是正确的，但要如何证明，为何收敛就可以，这个说法并不能反映问题的实质。
我认为问题是出在：
         1 + ( 1 + 1/2 + 1/3 + ...)
       = 1 + S
...

如果不是收敛的话，是不再具备“同一律Ａ＝Ａ”这种性质的，会有很多奇怪的性质的。实际是是“无限”的性质

luyuanhong