三圆重叠面积问题终于被我解决了，此题是世界数学难题

费尔马1

1、桌面上有三个面积相等圆形纸片，每圆100平方厘米，两两相交后面积都相交40平方厘米，且三个圆盖住桌面的面积是190平方厘米，问三圆重叠部分是多少平方厘米？
2、桌面上有三个面积相等圆形纸片，每圆100平方厘米，两两相交后面积都相交40平方厘米，问三圆重叠部分是多少平方厘米？
解答:第一题是错题。
第二题对，答案是，三个圆重叠面积为23.33752905平方厘米
不包括图，用纸三页，我不会发图，所以解题过程暂时不发了。请老师们仔细审核这个问题的答案。

费尔马1

请教李桂良老师，请您审阅我的答案，看看是否正确？谢谢！

费尔马1

下面是过目不忘老师的解答，他与我的方法虽然不完全一样，但结果是相差无几，他的结果是23.33819，我的结果是23.33753仅相差0.00066。
他的作图我还不会发，就先发解题过程吧！
2. 桌面上有三个面积相等圆形纸片，每圆100平方厘米，
两两相交后面积都相交40平方厘米，问三圆重叠部分是多少平方厘米?
解::当三个圆互过圆心两两相交，可知两圆相交的面积为39.100平方厘米
.两两相交后面积都相交40平方厘米时，圆心处于相交范围内
如图设: 中心的等边三角形三个顶点为三个等圆的圆心0、02、O3
个等圆的内部交点NT、NZ、N3
个等圆的外部交点W、W2Z、W3
个等圆的三条弦NW2、N2W3、NW的交点为0
O01、O02、日03的半径为R
:'s[O0.]=s[O02]=s[o03]=100
.R2=100/ J,R= V (100/ ']
S[O0nO0]=S[O02nO03]=S[O0snO0.]=40
.'.S [弓形NN2W2]=40/ 2=20
设:_圆心角Z NO3W2= a
S [扇形NOW2]-S [ON03W2] =S [弓形NN2W2]
a J R2/(2 n )-R'Sina/2=20
即: R2 (a-Sina )/2=20
a-Sina =2J /5
迭代法解此超越方程，得:
a =2.11313895890098 (弧度，精度10~ (-14) )
正△00203的边长:
02O=2RCos( a/2)=2 V (100/ ]1)Cos( a/2)=5.550066451799871
NA=RSin( a/2)=2 N (100/ J )Sin( a /2) =4.912247877859022
: 正O0.02O3的高0A=0203* V 3./2=4.806498539950449
0A=O.A/ 3=1.602 166 179983483
00+=002=003=2*0.A/ 3=3.204332359966966
0N;=ONz=ON=NA-0A=3.3 1008 1697875539
I 002/0N2=0z03/NzN3
N2N=020>*ON2/00=5.733229677924289
ZN2O-B=arcSin (NzB/R) =arcSin (NzN3/ (2R) )=0.5329707038521914 (弧度)
设B =ZN2O1Ns=2*ZN2O.B=1.0659414077043828 (弧度)
S [弓形N2CN3]=S [扇形N2O-N3]-S [ONzON3]
= B /(2 I )* ] R-R'Sin B/2=50*( B-Sin B)/ 'J =3.035033059547176
S [正ONNN3]=N2N3 * V 3/ 4=14.233093969960548
.圆重叠部分面积
=S [正ONN2N3] +3S [弓形N2CN3]
=14.233093969960548+3*3.035033059547176
=23.338193148602073
: 根据容斥原理:三个圆盖住桌面的面积
=各圆面积之和-两两相交的面积之和+ 三圆重叠部分面积
=100*3-40*3+23.338 193 148602073
=203.338193148602073
'.第一题是错误的

费尔马1

计算结果的精确度误差在于:
我计算出的圆心角的度数是n≈121.0735°=121°4’24.6”
过目不忘老师计算的圆心角的度数是a≈2.11313895890098弧度=121.073943715°=121°4’26.2”
两个角度仅仅相差1.6”
因此，本题最后的结果可以取我们俩人的平均数作为比较精确的结果:
三圆重叠面积=（23.33752905+23.338193148602073）/2=23.3378610993

李桂良

费尔马1 发表于 2017-12-27 20:40
请教李桂良老师，请您审阅我的答案，看看是否正确？谢谢！

谢谢解答！我没有肯定答案的能力啊！52.3、43.3、70.3、39.01、55.7%44.3%、205.27%、22.39%16.62%2.87%还有很多很多数据，多年前用了上百天，几个月前额长出一那白发，不敢一人再想了！有一点成绩，又一点想法（猜想）都留给有缘分的大师们了！很想到中国数学会请教大师，可惜没认识这么高层的朋友！！！

李桂良

费尔马1 发表于 2017-12-27 20:40
请教李桂良老师，请您审阅我的答案，看看是否正确？谢谢！

下面是我在百度“清华大学吧”的一个回答，你们几位做的可能有同样的错误！
当我看到S扇N1O3W2时，我不想下面的，因为这样在这三圆叠变中无形成霎间，问题是不是已出现3只小鸡+2只小狗=5只小狗了！

费尔马1

李老师您好:我不明白“
当我看到S扇N1O3W2时，我不想下面的，因为这样在这三圆叠变中无形成霎间，问题是不是已出现3只小鸡+2只小狗=5只小狗了！”
我们的解答是按客观规律，按部就班，循序渐进的去解的，不存在错误，这一点我可以保证的。哈哈

费尔马1

李老师您好:我不明白“
当我看到S扇N1O3W2时，我不想下面的，因为这样在这三圆叠变中无形成霎间，问题是不是已出现3只小鸡+2只小狗=5只小狗了！”
我们的解答是按客观规律，按部就班，循序渐进的去解的，不存在错误，这一点我可以保证的。哈哈

费尔马1

两个圆相交有三种情况:
①圆心距大于半径；
②圆心距等于半径；
③圆心距小于半径，
三个圆相交亦然。
对于解这个题是圆心距小于半径的情况。
这三种情况在解题的时候要稍有区别。
我不明白什么是“无形成霎间”？

李桂良

!太多图了