再评张彧典先生《探秘》一书中Z—换色程序图6.1中的错误

雷明85639720

再评张彧典先生《探秘》一书中Z—换色程序图6.1中的错误
雷  明
（二○一八年元月四日）

我们曾在多年前对张彧典先生的书《四色问题探秘》一书中的图6.1进行过多次评论，其中都指出了张先生在交换（颠倒）的过程中，不但把要颠倒的链的顶点颜色进行了交换，同时又把所颠倒的链中有关顶点与图中其他顶点间的相邻关系进行了改变这一错误。今天我们就再接着这一改变将会引起的变化进行分析和评论。

1、张先生的图6.1实际上有两个系统，一个是按图中实线图与实线箭头进行的流程；另一个是按图中虚线图与虚线箭头进行的流程。图中最开始的图就是一个可以同时移去两个同色B的K—构形（如图1，这个图在张先生的图6.1中的位置是上中图）。张先生的原图是图1，a，我认为他那样把颜色与顶点名混标起来不合适，我就把顶点名单独用数字标出来，颜色只用字母而不加数字，如图1，b。
2、颠倒的方法张先生都写在了实线方匡以内，在图1这个图后的方匡内的颠倒方法是：“在A—C环内互换B、C”，其后的实箭头上写着“生成B—C环”，但后面所画的图却是如图2，a的图。显然是把原图中不相邻的顶点1和6改成了相邻的，而又把原图中相邻的顶点2和7改成了不相邻的，把虚线边由原来在顶点1和8之间改成了在顶点4和6之间。这是不应该的，是错误的。把图2，a画正规一点就变成了图2，b。可以看出，图2，b与开始的图1，b是相同的，只是构形类型由原来的BAB型变成了DCD型，若去掉顶点名，再把所用的颜色加以调整，两个图就是完全相同的构形，都是可以同时移去两个同色构形。

3、在图2，a的后面的方匡里也写着“在B—C环外互换A、D”，即在图2，b中的3B—5C环内互换4D—8A。这个交换与在图1，b中的互换也是相应的。以后七个图的七次颠倒也都是这样进行的，同样也是在颠倒的过程中，同时也把图中有关顶点的相邻关系进行了改动，且每次颠倒后的图都是与颠倒前的图是完全相同的，只是构形的类型改变了而已，适当对颜色进行调整，就成了颠倒前的构型。如果是这样，只举一个颠倒的例子不就可以了吗，何必还要用同样的图进行八次颠倒呢。这完全是为了符合张先生提出的“八次换色大循环”硬凑合的。张先生可能会说，每次颠倒后的构形类型不是都转化了吗，每次颠倒前的构形类型不是都不相同吗。是的，的却是转化了，颠倒前、后的构形也是不同的，但适当调整颜色后，就都就变成了相同的构形（图）。为了说明每次颠倒的图是不同的构形类型，就不要用实箭头把各次颠倒前、后的图都连系起来。明明颠倒前、后的图是不同的，为什么还要用箭头把它们连系起来呢。反之，如果要用箭头把它们连系起来，每次颠倒就不能改动图中顶点的相邻关系。二者只能是取其一个，那有二者皆取之理呢。


4、若不改变顶点间的相邻关系时，则上述对图1的颠倒后则是图3，a，把图画正规后就是图3，b。可以看出，这就是张先生的第二构形。不同之处是张先生的第二构形是BAB型，而这里是DCD型，但对颜色调整后，其实就是同一个构形（图）。图中有一条环形的A—B链，交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，图都可以变成K—构形而可约（如图4）。不需要再用颠倒法来进行解决。
5、若按张先生图中的虚线图及虚线箭头所指流程颠倒，则图1，b颠倒后则是图5，a（张先生并未画图），并且张先生在虚箭头上写着“生成新A—D环”（即经过顶点2—1—8—4—V—2的A—D环，这里的V是构形中的待着色顶点），并用虚箭头返回了原图。但图5，a显然与原图是不同的。这可能是我们画图没有按张先生的意图画的原因吧。若按照实线图颠倒那样，按张先生的把顶点2和7改成不相邻，又把顶点1和6又改成相邻，则颠倒后的图应是图5，b。但这本身就是一个K—构形，只有一条连通链C—A（相当于原图中的A—D链），并不与原图相同。原图是有两条连通链A—C和A—D的，而这里只有一条连通链C—A，而没有C—B。看来，改变和不改变图中顶点的相邻关系，颠倒前、后的图都是不同的。

6、后来张先生又在别的文章《四色猜想图表解》一文中，在这一虚箭头后直接写上了他的第一构形的图号——图7•3—1，这说明这里颠倒后的图是与第一构形是相同的图。然而张先生的第一构形却不是图5，a那样，而是图6，a。很明显，该图与第一构形的图完全是不相同的。虽然第一构形颠倒后的图中也有一条经过顶点2—1—8—4—V—2的A—D环（如图6，b），但两图却是不同的图，不但不是同一类型的构形，而且图的形状也相差很大。张先生的第一构形是一个必须要选择交换的次序，才能同时移去两个同色B的构形；而这里的图1的虚线图却是一个可以不需要选择交换的次序，就可同时移去两个同色B的构形（因为图中有环形的A—B链，当1B—8A间和3B—8A间不是单边而是链时，交换环形链A—B内、外的任一条C—D链，也都可以使图变成K构形）。

7、张先生在上面提到的《四色猜想图表解》一文中，他把虚线图颠倒后的虚箭头均直接指向了他的各个构形的图号。他的图6.1中只有八次颠倒，没有用到第九次颠倒，但他为了与他的九个构形相对应，就随便的在开始的图1（他的原图中的上中图）的上面写了第九构形的图号（这些构形的图号都是用一个椭园圈圈起来的）。这又是一次完全在硬凑合的现象。
8、是不是虚线图颠倒后就是对应的九个构形呢。我们分析如下：上面说了张先生每次颠倒后的图都是又回到了颠倒前的原图（以前我们也一个个的画过图进行分析过，的确也是如此。张先生不知为什么把图画得非常的乱，很难看懂，也很难分析。以前我们分析时，花费了好大的劲，才理出个头绪来。才看明白了张先生颠倒后的图是如何又都回到了颠倒前的原图的）。既然颠倒后的图又回到了颠倒前的原图，那么应该说颠倒前、后的虚线图也是相同的，颜色进行适当调整后，就都是如同图1，b的同一个构形（图）了。都是如图7那样。这显然与张先生的九个构形都是完全不同的（九个构形的图见张先生的书中），怎么能用箭头指向九个构形呢，这还是在凑合嘛！

9、张先生在图6.1的中部写有文字：“因为每个构形都存在A—B或C—D的不同选择，故每施行一次换色程序都有两种相反结果：或构形转化（图中实线与方匡外实箭头）或构形类似坎泊构形得解（图中与实线交叉的虚线与方匡外虚箭头）。”对于H—构形来说，A—C链和A—D链都是连通的，是不能交换的，而A—B链和C—D链在图1中都是直链，即是一条道路，两条道路贯穿了图中所有的顶点，任何一条链交换都是不可能的（交换了也只相当于对颜色进行了调整），怎么能说“因为每个构形都存在A—B或C—D的不同选择，故每施行一次换色程序都有……”呢。这种说法与图6.1的中部另外的一段文字“每次只交换1/5邻点色，且为双色之一”相矛盾。在这里的“双色”显然是指B色，交换其对角的颜色一定是C或D，不可能是A，更不可能交换C—D链。所以图1根本就不可能选择A—B链或C—D链进行交换的，而只能选择B—C链或B—D链进行交换了（逆时针方向颠倒是交换B—D链）。图中因为颠倒前的构形类型是不同的，所以不都只是交换B—C链或B—D链。上述在图6.1中部的文字中的“方匡外实箭头”与“方匡外虚箭头”都是不应该要的，更不能随便所指。
10、如果对图1按逆时针方向、也不改变图中有关顶点的相邻关系，一直颠倒下去，会是一个什么结局呢。第一次颠得到的是一个DCD型的，含有A—B环形链的构形（如前面的图3），交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，都可以使图变成K—构形而可约（如前面的图4）。如果不这样做，而继续进行第二次颠倒，则是一个可以同时移去两个同色A的可约的K—构形（如图8）；现在就可以再只颠倒一次，移去左边一个同色A，然后再从顶点4进行一次A—D交换，再移去右边一个同色A（如图9）；

若还要继续进行颠倒，则交换的就是一条连通的、含有五边形三个边沿顶点1—5…3的连通的C—B链（如图10）。以后同方向的颠倒将总是颠倒这条连通链，构形将总在CDC型与BDB型之间进行转换，出现了无穷循环。从这里可以看出，在进行颠倒转型时，能转化成可约的K—构形时，一定要及时的使问题得到解决，不能让颠倒出现了无穷循环的现象。


11、图6.1的中部还写有文字：“周期性：四次换色小循环，八次换色大循环”。所谓米勒提出的是“四次换色小循环”和张先生提出的是“八次换色大循环”都只是构形类型上出现了循环，而不是图的着色出现了循环。只是BAB、DCD、ABA、CDC出现了一次循环和两次循环，而不是图中各顶点的着色状况（比如说顶点1原来着A色）出现了循环。这又是一次与八个构形硬往一块凑合的现象。要使图中各顶点的着色回到开始时的最初状态，一定得要二十次颠倒才能达到。因为与待着色顶点相邻的顶点有五个，图中也是用了四种颜色，5和4的最小公倍数是20，所以要使图中各顶点的着色回到开始时的最初状态，一定得要二十次颠倒。

以上分析正确与否，请张先生朋友进行指正。

元月六日，我又在我的文章后的评论栏中写道：
要使图6.1没有问题时，就得：
1、把各个图不要用箭头连接，各是各的图；
2、交换中不能改动图中的任何顶点的相邻关系；
3、各图按方匡中的方法交换后，已达到了转型的目的；
4、对于第一个图来说，构形由一个BAB型的、有选择性交换次序的、可同时移去两个同色B的K—构形，变成了一个DCD型的、不需要选择交换次序的可同时移去两个同色D的K—构形；
5、这时整个图就是由八个单独的图构成，每一个图都只能说明该构形是可约的，各图之间没有任何关系；
6、由于图中的虚线图和虚线箭头及其结论都是错误的，所以图中的虚线图和虚线箭头及操作可以不要；
7，可是这样改动以后，又达不到张先生要说明的四次换色小循环，八次换色大循环的目的。所以说，这个图6.1就是没用的，不能说明任何问题，不如不要的好。
8、这样，也就不存在什么Z—换色程序了，还就只是赫渥特的从两个B色之一顶点的H—换色程序，但H—换色程序最终还是坎泊的颜色交换技术。难道H—换色程序不是坎泊交换技术一一种情况吗。
9、坎泊的颜色交换技术万岁！


雷  明
二○一八年元月四日于长安

注：此文已于二○一八年元月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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