AB 长 10 ，与平面 E 平行，距离为 6 。P,Q 是 E 上单位圆上两点。求 ABPQ 的最大体积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  线段 AB 长度为 10 ，AB 与平面 E 平行，到平面 E 的距离为 6 。平面 E 上有一个单位圆，

P,Q 是单位圆上的两个动点。求四面体 ABPQ 的最大体积。

解  我过去在《数学中国》中，证明过一个四面体体积公式： V = a x d sinθ / 6 。

    其中，a ,x 是四面体两条相对棱的长度，d 是这两条棱的异面距离，θ 是这两条棱的异面夹角。

    在本题中的 AB、PQ ，就是四面体两条相对的棱。已知 AB 的长度为 a = 10 。

    因为 PQ 在平面 E 上，已知 AB 到平面 E 的距离为 6 ，所以 AB 与 PQ 的异面距离为 d = 6 。

    从上述四面体体积公式可以看出，这时要使得四面体体积最大，就是要使得 x 和 sinθ 尽量大。

    因为 P,Q 是单位圆上的两个动点，要使得 PQ 的长度尽量大，就要使得 PQ 成为单位圆的直径。

    当 PQ 成为单位圆的直径时，PQ 的长度 x = 2 取到最大值。

    单位圆直径 PQ 的方向，可以作各种角度的旋转，总可以旋转到使得 PQ 与 AB 异面垂直，这时

AB 与 PQ 的异面夹角为 θ = 90° ，使得 sinθ = sin90° = 1 取到最大值。

    所以，四面体 ABPQ 的最大体积为

       maxV = a x d sinθ / 6 = 10×2×6×sin90°/ 6 = 20 。

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