求所有小于 1000 的正整数 n ，使得 √(9×11×13×15×17+n) 为整数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  求所有小于 1000 的正整数 n ，使得 √( 9×11×13×15×17 + n ) 为整数。

解  因为 0 ＜ n ＜ 1000 ，所以

  328185 = 9×11×13×15×17 ＜ 9×11×13×15×17 + n ＜ 328185 + 1000 = 329185 ，

    572.87… = √328185 ＜ √( 9×11×13×15×17 + n ) ＜ √329185 = 573.74… 。

    因为 √( 9×11×13×15×17 + n ) 为整数，在上述范围内的整数只有 573 ，所以

                √( 9×11×13×15×17 + n ) = 573 。

         328185 + n = 9×11×13×15×17 + n = 573^2 = 328329 。

                   n = 328329 - 328185 = 144 。