揭秘集合论中的超级诡辩术

门外汉

Ysu2008

请你给出两个集合元素“一样多”的定义。或者说，你认为满足何种性质、达到何种条件时，两个集合的元素是“一样多的”？

你给出“一样多”的明确定义，然后说明{正整数集}与{偶数集}不满足“一样多”的条件，才能得出二者元素“不一样多”的结论。

Ysu2008

这一楼，我试着回答一下楼主的疑问。

楼主和希尔伯特合伙开了家无穷旅馆。某夜，希尔伯特老板本来已经安排了无穷多个客人住进无穷多个房间，然后楼主老板把客人们全部撵了出来，再让客人们住回去。然后楼主问，原来住在1号房的房客现住几号房？

这等于是让大家猜 1 号房客打乱住房顺序之后的房间号。如果只有500万个客人500万间房，猜中的概率只有500万分之1，而现在有无穷多个客人无穷多间房，猜中的概率为 0 ，所以我们无从猜起。

虽然我们猜不中1号房客的房间号，但这并不影响无穷多个客人再次住进了无穷多个房间啊，并没有多出一个房客来嘛。

我们能不能猜中1号房客的房间号，与房间多还是房客多并没有什么关系啊。

Ysu2008

有一个脑筋急转弯的问题是这样说的：一斤棉花和一斤铁，谁重？

楼主或许就是认为一斤铁比一斤棉花重的人，因为通常情况下，铁确实比棉花重。

Ysu2008

一斤棉花好比就是{偶数集}，一斤铁好比就是{正整数集}……

我们说它们一样重，是因为……
我们说它们一样多，是因为……

与它们是不是棉花是不是铁，是不是偶数等等，都没有关系……

elim

门外汉自己的脑力好像跟过去也一样。期待无穷有一切有限集具有的性质。Ysu2008 先生一斤铁比一斤棉花重的例子很妙。

门外汉

Ysu2008 发表于 2018-1-14 16:33
请你给出两个集合元素“一样多”的定义。或者说，你认为满足何种性质、达到何种条件时，两个集合的元素是“ ...

你所谓的两个集合一样多的定义，无非就是让两个集合构建出一一对应的关系，但我在1楼中说了，两个无穷集合构建一一对应的关系，无非就是玩有头无尾的游戏。是一种诡辩

门外汉

elim 发表于 2018-1-15 00:28
门外汉自己的脑力好像跟过去也一样。期待无穷有一切有限集具有的性质。Ysu2008 先生一斤铁比一斤棉花重的例 ...

e先生经常讲，不能用有限集合的性质来推断无限集合的性质，但是两个无限集合之间做一一对应，其实就是用有限推论无限

elim

不是推断，而是不能假定有限集的性质无限集也有。无穷的性质需要论证。基本原则是，只有证明完全集的任意元素都有某性质时才能说完全集的元素具有某共性。一一对应性质与有限无限没有关系。它的意思是存在二集间元素的一个对应方式，使得映象集的每个元都是原像集的元的映象，原像集的不同元素的映象也不同。

Ysu2008

门外汉 发表于 2018-1-15 04:39
你所谓的两个集合一样多的定义，无非就是让两个集合构建出一一对应的关系，但我在1楼中说了，两个无穷集 ...

集合{1，2，3}与集合{A，B，C}元素一样多，我们是怎么确认这件事的呢？数个数，或者说两者元素能建立一一对应的关系。当我们在判定有限集的元素是否“一样多”时，是以“能否建立一一对应”作为判定条件的，只不过我们没有把判定条件明确地说出来，似乎那是不言自明的。

在你的主题帖中，你本来也是以“一一对应”判定有限集是否“一样多”，但在涉及无限集时，你却拒绝使用“一一对应”。试图换一个判定法则：

你认为 100 以内 偶数没有正整数多，1000、10000以内依然，乃至任意一个有限正整数集合内偶数都没正整数多，因而你推导出{偶数集}没有{正整数集}的元素多。

这个推导是不成立的。因为“有限正整数集合内偶数与正整数的数量对比”不是判定任意两个集合元素是否一样多的准则，包括{偶数集}与{正整数集}。也就是说，你在判定“是否一样多”这个问题上，试图采取两个标准，有限集你用“一一对应”，无限集你用“偶数与正整数的数量对比”，这显然是不行的。