《四色问题探秘》一书中的是与非——对张彧典先生《探秘》一书评论的总结（二）

雷明85639720

（接上贴）

《四色问题探秘》一书中的是与非
——对张彧典先生《探秘》一书评论的总结（二）
雷  明
（二○一八年元月十七日）

2、6  张先生对九构形完全备性的证明是完全错误的
可以说张先生在《探秘》一书中是没有对他的由九个构形构成的的不可免集的完备性进行证明的。当网友们提出来以后，他才在《四色猜想的数学归纳法证明》一文中进行了一个所谓的补充“证明”。
2、6、1  张先生的补充“证明”
他说：“我们再用反证法来证明这个不可避免集的完备性”。但这个证明完全是为了应付，是不能令人满意的，或者可以说是完全错误的。他是利用构形八的图进行证明的。证明说，我们不妨假设需要颠倒九次的有解构形存在，那么“它在图3—8的祥解图之倒数第二个图中一定不是B—D环而是其相反色链A—C环才行，因为这样才能使得双A夹B型构形整整转化两个周期。而且其外部的A—C、A—D二环仍然呈现相交情形。”这说得一点都不对，与图中的实际一点也不相符。
第一，张先生说，“祥解图之倒数第二个图中一定不是B—D环而是其相反色链A—C环才行”。是不是这样呢，如果是这样，那么对于第七构形的倒数第二个图而言，就应说第八构形中的“图中一定不是B—C环而是其相反色链A—D才行”，但是第八构形的倒数第二图中道底是什么环呢，看看就明白了。实际上你的第八构形的倒数第二图中的新生的经过五边形三个顶点并与V一起构成环的是B—D环，而不是A—D环。这不就说明了张先生的第一个理由不成立吗。
第二，张先生说，“因为这样才能使得双A夹B型构形整整转化两个周期”。请张先生再看一下，你的第八构形的倒数第二图不就是一个BAB形的构形吗，每四次颠倒一个周期，这个图不正好是颠倒了八次后的图吗，不就正好是“双A夹B型构形整整转化两个周期”了吗。怎么能说第九个构形才是“双A夹B型构形整整转化两个周期”呢。第二个理由也是错误的。
第三，张先生说，“而且其外部的A—C、A—D二环仍然呈现相交情形”。张先生，请你好好的再看一看，你现在的图中已经存在着两条连通且相交A—C链和A—D链。现在的图已经就是BAB型了，而不是下一个构形才能到达BAB形。你怎么眼睁睁的说瞎话呢。
张先生后面还说：“这时，就必须使含有虚线所在的B—A—D—A四边形（红色）之两个对角A相邻（即连通同一个A—C环）从而使得B—D环断开，见图3—8＇左图”（如图6）。这句话说的是把第八构形的图进行改动，那怎么能行呢。而且把两个A色的顶点相邻起来，也是不应该的呀。原来是两个不相邻的顶点，你要把它们变成相邻；而又把原来是两个相邻的顶点，你又把它们变成不相邻。这不是又犯了与图6.1中同样的毛病吗。把两个A色顶点相邻了起来，怎么又能是“连通同一个A—C环”呢。算了，不管你下面说得再好，你上面的证明中，三个条件都是错误的，等于没有证明，你还在说什么呢。
      
请问张先生，你把第八构形的倒数第二个图中的两个A色顶点相邻了，把两个相邻顶点又隔开了，你还能把图顺时针再颠倒回去吗。绝对不能。因为有了两个相邻的顶点是着有同一颜色的，你也没法进行颠倒呀。即就是没这个原因，你把图中的顶点相邻关系改变了，那怎么还能再颠倒回去呢。张先生接着又说：“如此一来，就使得图3—8的原图中含有A1—B1—C—D四边形（红色）之两个对角B1、D相邻，而不是A1、C相邻了，见图3—8＇右图”（如图7）。这还用说吗。你已经把原图中顶点的相邻关系进行了改动，那还能与原图相同吗。
紧接着张先生又说：这个图（即图7）“也就是所（假的）设第九个有解构形”，由于这个构形颠倒四次就可以4—着色，所以“就归于图3—3了。这说明所假设的第九个有解构形是不存在的，证明我们的不可避免构形只有九个是完备的。”难道你改动后的那个图，一定就是所假设的第九个有解构形吗。我们下面进行一下验证。
2、6、2        仿张先生的“证明”对第七构形进行验证

如果是这样的话，我们再回到第七构形看一看。第七构形祥解图中的倒数第二个图中也有一个与第八构形祥解图中倒数第二图中相对应的经过了五边形三个顶点的B—C环（如图8，加粗的黑色边），将其断开后，也使原不相邻的两个D色的顶点变成相邻的，并使原相邻的C、D二顶点变成不相邻的（这四个顶点也是图8中红色四边形的四个顶点上）。把这一变化同样也反映到第七构形的原图中去时（如图9），也就应是所假设的第八个有解构形，至少是应该颠倒八次的。但这个图却是一个只有一条A—C连通链的K—构形（如图10，其实图10与图9是相同的，只是图10 中明显的标出了A—C连通链），并不是我们这里研究的H—构形，当然就不是应颠倒八次的构形了。我过去曾给张先生指出过这一点，说如果按张先生的证明方法，我可以证明出在第七构形的后面就再也没有第八构形了，在第六构形的后面就也就再也没有第七构形了，等等等等。但张先生却批评我的说法是错误的。那么，现在就让事实说话吧。
     
现在看图10这个构形需用要多少次颠倒才能4—着色呢。由于该图是一个K—构形，又有连通的A—C链，所以只能从顶点4交换D—A链空出D给待着色顶点V着上（如图11），当然也可以从顶点2交换A—D链空出A给V（如图12）；该图就是一个K—构形，而不是K—构形，根本用不着“颠倒”转型。
      
我们现在再对图10按连续颠倒法再进行连续的颠倒，按张先生的“证明”，再看看需要几次颠倒呢。若从顶点1进行B—D链的颠倒后，图就转化成一个451—DCD型的、在前面的2、4中、我们所说的a、b、c三类构形中的b类H—构形（如图13），图中有经过五边形顶点2A和3B的A—B环形链，交换环形的A—B链内、外的C—D链都可以使图转化成K—构形（如图14和图15）。

     
如果这时还不结束颠倒，还硬要坚持连续颠倒，也不是不可以。在从顶点1颠倒了B—D链后的图13中，再从顶点4颠倒一次D—A链，得到图16，再继续进行颠倒，在进行到第五次颠倒后就得到图20，出现在反常的ACA型构形，且峰点位置和颜色都与第四次颠倒后的图19完全相同，说明颠倒四次后颠倒就结束了。这时对图19中已新生成的经过五边形三个顶点的A—D环来说，交换其A—D环内、外的C—B链，都可以空出颜色B或C给待着色顶点V（如图21和图22）。
      
      
      
      
因为已经进行了五次颠倒，如果不想再返回到第四次颠倒后图19时，也可以直接在图20上进行着色。对图20交换A—D环内、外的B—C链，也都可空出颜色B或C给V（如图23和图24）。

从现在看，无论对图10进行怎么样的交换，都绝对没有达到八次颠倒的目的，这也就是说图10并不是所假设的第八个构形了，即在第七构形的后面也就不存在第八构形了。按照这样的办法，我们照样还可以证明在第六构形的后面也就不存在第七构形了，等等等等。
现在看一看，是不是象张先生所说的，改动了图中顶点相邻关系后的图就是后一个构形呢，不是的；是不是仿张先生的证明办法，可以得到任何一个构形的后面都再不会有“下一个构形”了呢，完全可以。这就是张先生的所谓“证明”，完全是在瞎编。因此张先生的H—构形不可免集是错误的，是不完备的，不可相信的。尽管他的构形集中的元素都包已含了我的三类构形，但没有经过证明是不是完备，就是不可相信的。
2、7  张先生的构形集多次变化就说明了没有进行证明
张先生的书——《四色问题探秘》2010年出版不多长时间，我就提出其所给出的不可免集是没有经过证明的，是不是完备，必须进行证明。所以紧接着张先生就在其《四色猜想的数学归纳法证明》一文中草草的给了一个我们在上面指出的那个是错误的所谓“证明”。我认为他的第四到第七构形，都与第三构形的特征相同，按顺时针方向颠倒一次，都可以同时移去两个同色B；第一构形又与第三构形只是表现形式上的不同，一个是左式的，一个是右式的，实际上应该是同一个构形。所以我认为以上这几个构形实质上都是同一个构形。于是张先生就采纳了我的意见，也在同一篇文章《四色猜测的数学归纳法证明》中说：“于是，我们采纳了雷明先生的‘简化解法’意见，把前八个构形最终解法归纳为两种（即类似图3—1，图3—2祥解）。”再加上第九构形，这样“我们的不可避免构形就可以从九个简化为‘图3—1，图3—2，图3—9’三个构形了。”在这里张先生所说的图3—1，图3—2，图3—9即是他的第一构形，第二构形和第九构形。在这篇文章和《四色猜测图表解》一文中，张先生都把他在《探秘》一书中的图6.1的Z—换色程序图中的虚线箭头分别指向了图3—1到图3—9。这样张先生的构形集中就只有三个元素了，这三个元素与我们按“构形结构不同，解法相应不同”的分类原则所划分的a，b，c三类构形是基本是相同的。只所以说是“基本相同”，是因为张先生把第八构形归入第二构形中去了，而把第九构形单独作为一种构形了；而我们则认为第八构形是c类构形的代表，而第九构形只是a类构形中的一个构形而已，共同都认为第二构形是另一类构形的代表，我叫它b类构形。现在张先生的构形集中就只有三个构形了。
后来在2015年，张先生又在一篇名为《利用构形对称性破解四色猜想》的文章中提出了他的构形集中只有四种构形，这四种构形张先生分别命名为Z1，Z2，Z3，Z4（如图25）。其中Z1就是我的a类构形，其中含有A—B环形链；Z2就是我的b类构形，其中含有C—D环形链；Z3和Z4中都含有环形的A—B链，我认为他们与Z1都是同属于a类构形；他这里就缺少不含任何环形链的c类构形，原因是他把第八构形归入了含有A—B环形链的第二构形，也即Z2了。

最近张先又看到了美国人IRVING  KITTELL于1935年所写的《对已部分染色地图的一组操作》（万春如翻译）一文，其中有一个无割边的3—正则平面图（即地图，这个图的对偶图就是米勒图），作者给出了该图的八个面染色模式，于是张先生就又把同一个图的不同染色模式与构形的种类联系在一起了，感到自已把由九个构形构成的构形集简化成了只有三个、四个构形构成的构形集，是乎是太少了。于是又在他的《米勒构形还有一对孪生姐妹》一文的评论栏中发贴说：“《操作》文章是1935年发表的，其中图11我把他的图改过来以后发现我的4个构形的结论不完备（因为图11需要5次颠倒染色），9个构形简化为3个构形的结论更不完备。所以现在返回来觉得9个构形才是完备的。因为其中既有左右对称的构形，也有不对称的构形，两个方面都应该考虑进去才能实现完备性。”看一看，又变回来了。在这里他把各构形又分别叫作ZW1，ZW2，……，一直到ZW9。从这里可以看出，张先生划分构形的原则是以颠倒的次数为准的。请问张先生，你证明没有证明最多需要用几次颠倒，才能完成其4—着色的构形呢。你虽然已经给出了一个“补充证明”，但那个证明是错误的，说明你还是没有证明嘛。
短短的六年时间，张先生的构形集中的构形个数就发生了四次变化，这怎么能叫人相信张先生对他的构形集的完备性进行了证明呢。已经证明了的结论还能说想变就变了吗。这也太的随便了嘛。
2、8  是否存在着颠倒次数大于八的构形
既然张先生坚持只有八个可以用连续颠倒法进行可约性证明的构形，现在也先不管他是否给以了证明，我们在这里给出一个图（如图26），请张先生用连续颠倒的着色方法对其进行一下4—着色，看其需要几次颠倒呢。反正我按张先生的连续颠倒着色法，用八次颠倒是不可能把这个图变成K—构形的。张先生若有空，可以试一试，看你是否可以做到。

2、9  张先生的连续颠倒法确实是一种着色的好方法，但不是构形分类的标准
证明与着色是两码不同的事情。着色用的是构形，不是具体的图。且构形中各链的关系是事先设定好的，是已知的。然后再想办法通过颜色交换技术从五边形顶点中空出一种颜色，使待着色顶点有色可着。对构形的分类也是为了证明四色猜测的，不把无穷多的图分成有限数量的几类构形，不把研究对象由无穷变成有限，则四色猜测是永完也不能证明的。如果所分的几类构形都是可约的，四色猜测就是正确的，否则，四色猜测就是不正确的。把某一类构形能用最少的顶点反映出来的那个图，就是这类构形的最小构形，也就是张先生所说的“构形最小”。因为顶点数少了，容易看清，好进行研究。这就是张先生所说的“构形最小”的唯一用处。
然而着色的对象却是具体的图，图中顶点的数量可以是任意的。我们并不容易看清楚已着过的部分图中各种链间的相互关系，且这种关系是未知的。看不清各链间的相互关系，也就不可能对症下药的、有目的的进行颜色交换，特别顶点多时更是如此。但我们可以采用连续颠倒的方法，一直颠倒下去。当颠倒结束时，也就是图由H—构形变成K—构形时，待着色顶点外的五边形顶点中两个同色顶点的颜色，就会出现在两某两种颜色间的循环变化，而构形峰点的颜色和位置却总不变化的情况（这一情况，在张先生对其八个构形的着色中，如果再进行下一次颠倒时，就是这种两个同色的颜色循环变化的开始，只是张先生还没有注意到这一点），这时就可以认为颠倒结束，一定能空出一种颜色给待着色顶点着上。这时只要交换新产生的经过了五边形三个顶点的环内、环外的其他两种颜色的链，就可以空出一种颜色来的。至于为什么“一定能空出一种颜色给待着色顶点着上”是因为我们已经通过了“构形结构不同，解法相应不同”的分类原则，证明了所划分出的a、b、c三类构形都是可约的，所以就不可能有空不出颜色的可能。
正因为如此，我才已多次的强调，张先生的连续颠倒法是一种着色的好方法。他可以不管已着色的部分图是不是H—构形，都是可以连续颠倒的。我们在上面对第七构形中顶点的改动后的图10，就是一个非H—构形，但也是可以进行连续颠倒着色的。
但如果说用颠倒次数的多少来对构形进行分类，就大错特错了。从上面的图10可以看出，不仅H—构形可以连续颠倒，而且非H—构形也是可以连续颠倒的，其结果都是可以进行4—着色的。因些，用颠倒次数的多少对构形进行分类是不科学的。所以说张先生的“构形最小，解法相同”或者后来的“构形最小，解法不同”的分类原则都是错误的。应该是“构形结构不同，解法相应不同”的分类原则，才是正确的。
从对图10的颠倒还可以看出，如果按颠倒次数的多少来对H—构形进行分类的话，势必也会把不是H—构形的构形当作了H—构形。所以这种分类法是不可行的。就是因为这样的原因，张先生也才把本不是H—构形的第一构形，第三构形到第七构形也都划到了H—构形之列，这也是错误的。除了这几个构形外，张先生的构形集中也就只有第二构形，第八构形和第九构形才属于H—构形了。
2、10        对《探秘》一书评论的总结
从我们以上的评论分析来看，张先生《探秘》一书中的主要内容，除了对四色问题的介简介绍，介绍了米勒在赫渥特原着色的基础上对赫渥特图用颠倒法进行4—着色和介绍了米勒图三点是有用的外，其他的如非周期循环的H—构形，周期限循环的H—构形，Z—换色程序，四次换色小循环，八次换色大循环，Z＂—换色程序，九个构形构成的不可免集等等都是错误的，没有用的。
虽然我们对张先生的书的评论已基本结束，但并不是说以后就再不评论了。只要张先生能看到其理论的错误，并进行修改和完善，我们一定会给以赞扬的评论；如果还硬在坚持错误的九构形，我们也还将给以批评的评论。所以说这场关于九构形完各性的争论并没有结束。
   

雷  明
二○一八年元月十七日于长安

    注：此文已于二○一八年元月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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