埃及分数理论中的“3/p”定理

费尔马1

埃及分数理论中的“3/p”定理:
求证，当p的所有质因子都是6n+1型素数时，3/p不是两个埃及分数的和。
证明:用“拆分子”法
①当p为6n-1型素数时，
3/ p=3/（6n-1）=3/（2n*3-1）
把分母（2n*3-1）+1=2n*3
2n*3＞6n-1
分子、分母同乘以2n
即3/（2n*3-1）=2n*3/2n（2n*3-1）
=[（2n*3-1）+1]/2n（2n*3-1）
=（2n*3-1）/2n（2n*3-1）
+1/2n（2n*3-1）
=1/2n+1/2n（2n*3-1）
∴3/ p=3/（6n-1）=1/2n+1/2n（6n-1）；
②当p为6n+1型素数时，
3/ p=3/（6n+1）=3/（2n*3+1）
把分母（2n*3+1）+2=（2n+1）*3
（2n+1）*3＞6n+1
分子、分母同乘以2n+1
即3/（2n*3+1）=（2n+1）*3/（2n+1）（2n*3+1）=
[（2n*3+1）+2]/（2n+1）（2n*3+1）
=1/（2n+1）+2/（6n+1）（2n+1）
∵2/（6n+1）（2n+1）不能约分
∴3/（6n+1）不能分成两个埃及分数；
③当p为k个6n+1型素数时，
3/ p=3/p1*p2*……*pk=3/（6n1+1）（6n2+1）……（6nk+1）=3/（6u+1）=3/（2u*3+1）
u为正整数
把分母（2u*3+1）+2=（2u+1）*3
则（2u+1）*3＞6u+1
分子、分母同乘以2u+1
即3/（2u*3+1）=（2u+1）*3/（2u+1）（2u*3+1）=
[（2u*3+1）+2]/（2u+1）（2u*3+1）
=1/（2u+1）+2/（6u+1）（2u+1）
∵2/（6u+1）（2u+1）不能约分
∴3/ p=3/p1*p2*……*pk不能分成两个埃及分数的和。

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4/1669=1/418+1/348821+1/697642
4/4721=1/1182+1/930037+1/5580222
4/5003=1/1252+1/1565939+1/6263756

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35/143，分子分母同乘以x
得35*x/143*x
设143y+1=35x，且x=ky
这个三元不定方程组无解，
所以，35/143不能分成两个埃及分数。
解143y+1=35x 得
x=143t-49   
y=35t-12
x=ky
即143t-49 =k（35t-12）
k=（143t-49   ）/（35t-12）
商4余3t-1
x，y能满足方程，但k不是正整数，
所以，这个题没有解。
老师们请你们审核。谢谢！

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反过来由1/11+2/13=35/143只要是这类组成的真分数统统不能分成两个埃及分数，因为它本来就不是两个单位分数。
结论:在埃及分数理论中，每个真分数都能分成两个以上的埃及分数，但是，每个真分数不是全部都能分成两个埃及分数的。意思是，在3/p定理以外还有不能分成两个埃及分数的分数存在。

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