已知自然数 a1,a2,…,an 的平方和能被 60 整除，证明 a1^6+a2^6+…+an^6 能被 60 整除

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

谢芝灵

由已知得：60│（a1）^2+（a2）^2+（a3）^2+（a4）^2+...（an）^2       （1）
60=4*3*5            （2）
取任意一个自然数ak，假如ak=1，不影响下面证明。
（ak）^6-（ak）^2=（ak）^2[（ak）^4-1]       （3）
在（3）中，当（ak）与3互素，得[（ak）^4-1]  被3被整（费马小定理）。所以（3）式的一边必被3被除。
在（3）中，当（ak）与5互素，得[（ak）^4-1]  被5被整（同上理）。所以（3）式的一边必被5被除。
在（3）中，当（ak）与2互素，得[（ak）^4-1]  被4被整。所以（3）式的一边必被4被除。
证得：60│（ak）^6-（ak）^2；或 （ak）^6-（ak）^2=0

(a1)^6+(a2)^6+(a3)^6+...+(an)^6
=[(a1)^6-(a1)^2]+[(a2)^6-(a2)^2]+...+[(an)^6-(an)^2]+[(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2]
=60×整数+[(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2]
= 60×整数
证毕！

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。