在正立方体的八个顶点中任取四个顶点，能构成正四面体四个顶点的取法有几种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

正方体八个顶点任取四个能构成正四面体的有几个？

luyuanhong

题  在正立方体的八个顶点中任取四个顶点，能构成正四面体四个顶点的取法有几种？

解  以正立方体的顶点为顶点的正四面体，必定有一对异面互相垂直的棱，分别落在正立方体的

两个相对的面上。

   一个正立方体共有 3 对相对的面，要在其中选定一对，放正四面体的棱，有 3 种不同的选法。

   正方体这一对面选定后，在这一对面上还要分别选两条互相垂直的对角线，作为正四面体的棱。

   由于正方体每一个面有 2 条对角线，选对角线作为正四面体的棱，又有 2 种不同的选法。

   所以，能构成正四面体四个顶点的取法，共有 3×2=6 种。