求 (3cosA-2cosB-5)^2+(2sinA-3sinB+5)^2 之最小值

luyuanhong · 发表于 2012-11-12 08:01

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/15 04:32pm 第 2 次编辑]

这是台湾网友 YAG 在“陆老师的《数学中国》园地”上发表的一个帖子，转贴如下，
欢迎网友们一起来想想它的解答是什么：

概率考 · 发表于 2012-11-12 13:16

利用两个椭圆上的点最小值，最小值为75-50sqrt2

Ysu2008 · 发表于 2012-11-12 13:27

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/15 04:44pm 第 5 次编辑]

luyuanhong · 发表于 2012-11-12 18:30

上面网友Ysu2008给出的解答非常巧妙！
我已经将此帖转发到“陆老师的《数学中国》园地”
http://mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=3&id=3987&page=1&star=1

llz2008 · 发表于 2012-11-12 18:47

原式≥(10+2sinA-3cosA+2cosB-3sinB)^2/2=［10+√13*sin(A+ψ)+√13*sin(B+γ)］^2/2≥(10-2√13)^2/2=76-20√13

luyuanhong · 发表于 2012-11-12 22:16

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/11/13 02:58pm 第 1 次编辑]

下面引用由LLZ2008在 2012/11/12 06:47pm 发表的内容：
原式≥(10+2sinA-3cosA+2cosB-3sinB)^2/2=［10+√13*sin(A+ψ)+√13*sin(B+γ)］^2/2≥(10-2√13)^2/2=76-20√13

楼上 LLZ2008 的推导也不错。
但不等式只说明了原式不小于 76-20√13 ，还需要进一步说明最小值就是 76-20√13 。

llz2008 · 发表于 2012-11-13 09:22

两个不小于号中的等于号成立的条件不矛盾，即sin(A+ψ)=sin(B+γ)=-1时，等于号成立，取得最小值（76-20√13）。

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