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超越数 （数学概念） 编辑
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超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…（a=1/10^1!+1/10^2!+1/10^3!+…），并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。[1]
中文名 超越数 外文名 transcendental number 提出时间 1844年 应用学科 数学 定    义 不是代数的数 重要人物 刘维尔、厄米特、林德曼
目录
1 定义
2 难题
3 证明
4 常见形式
5 数例
6 意义
7 各种形式
定义编辑
超越数是指不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”(1748年)而得名。
几乎所有的实数都是超越数。
1844年，刘维尔(J.liouville，法，1809—1882)首先证明了超越数的存在性。厄米特与林德曼先后证明了e与π为超越数。
难题编辑
超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数，定义恰与代数数相反。两个著名的例子：圆周率π=3.1415926535…|自然对数的底e=2.718281828…可以证明超越数有无穷个。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数，但是超越数不一定是实数，比如著名的欧拉公式  中的  即是一个虚超越数。实数可以作如下分类：实数分为实代数数、实超越数。所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数为无穷数集。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数是十分困难的。
证明编辑
刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）。
在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数,b是无理代数数，则a^b是超越数（希尔伯特问题中的第七题）。
这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数。
常见形式编辑
实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数代数方程  （n为正整数， ≠0）的数。理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的。但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数如π，e，等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。[2]
数例编辑
π
π，在我国叫又环率、圆率、圆周率等。
最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
达什首先计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分钟内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
e
在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？
1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。
同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5^4=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。这是因为只有e^x导数就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。
意义编辑
超越数的证明，给数学带来了极大的变革，它证明了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题都是尺规不能问题（无法用尺规证明的问题）。[3]
各种形式编辑
π和e的无穷级数形式
有趣的是，π和e可以用无穷级数表示：
π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈N
e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N
π的反正切函数形式
除了无穷级数形式，π还可以用反正切函数表示：
π=16arctan1/5-4arctan1/239
π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239
参考资料
1.  刘献军,孟静. 超越数理论的发展史[J]. 高等数学研究,2010,13(01):100-106. [2017-10-05].
2.  张莹. 超越数存在性证明与判断研究[J]. 经济研究导刊,2009,(36):276-278. [2017-10-05].
3.  赵鸿丽. 关于超越数的一些性质[J]. 无锡商业职业技术学院学报,2006,(03):74-75. [2017-10-05]. 关于我们 CNKI荣誉 版权公告 客服中心 在线咨询 用户建议

elim

超越数都不可尺规作图。按谢芝灵都不是实数。呵呵

谢芝灵

比如著名的欧拉公式  中的  即是一个虚超越数。
得 e 为非实数。

elim

疯狗谢芝灵打算“磕扑”百度百科？ 呵呵

elim

圆 不是尺规作图 得来的吗？

给定半径，圆周长不能用尺规作图得到等长的线段。所谓尺规作图问题，都归结为尺规作线段问题。当然比较出色的疯狗对此似乎有异议：疯狗的异议。

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格奥尔格·康托尔?编辑 ?锁定 同义词 康托尔一般指格奥尔格·康托尔
格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。[1]  
中文名格奥尔格·康托尔 外文名Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp 别    名康托尔、康托 国    籍德国 出生日期1845.3.3 逝世日期1918.1.6 职    业数学家 毕业院校苏黎世大学 信    仰基督教 主要成就集合论和超穷数理论 代表作品《一般集合论基础》  目录1 生平简介
2 主要贡献
▪ 综述
▪ 集合论的建立
▪ 超穷数理论的建立
3 康托尔的遭遇
格奥尔格·康托尔生平简介?编辑 康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
1870年康托尔 康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
格奥尔格·康托尔主要贡献?编辑 格奥尔格·康托尔综述
康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”

康托尔图册(2张) 格奥尔格·康托尔集合论的建立
19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。
康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。1874年他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。至于实数集合是否可列的问题，1873年康托尔给戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出过，但不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。康托尔的信条是：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。……数学的本质就在于它的自由。”
格奥尔格·康托尔超穷数理论的建立
《一般集合论基础》（以下简称《基础》）在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：
第一生成原则：从任一给点的数出发，通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。
第二生成原则：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。
第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。
反复应用三个原则，得到超穷数的序列
ω，ω1，ω2，…
利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。在《基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。
在《基础》中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。
《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。《献文》分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。《献文》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。
格奥尔格·康托尔康托尔的遭遇?编辑 由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。除了克罗尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家庞加莱（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家外尔（Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。
1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。
康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17），也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

elim

1. jzkyllcjl 的论点是概念混乱,逻辑倒错,低能瞎掰,无能论证,缪说不断的简写，
   
2. jzkyllcjl 的帖子是概念混乱,逻辑倒错,低能瞎掰,无能论证,缪说不断的繁写.
   

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按照谢芝灵的有限操作原则，这种对应没有“边界”可言，所以超越数没有谢芝灵意义上的实数的构造性质。虽然这使得谢芝灵很尴尬，但也是他的两难。要么承认无尽小数的实数地位，要么否定超越数的实数地位，两者在他的“腚臆”下不可兼顾。疯狗自找的麻烦。

elim

楼主的转载与谢芝灵的胡扯反差太大，后者正在向畜生不如的 jzkyllcjl 靠拢。

elim

[0,1] 是有限，去掉一端的 [0,1) 叫无限，这就是谢芝灵的狗屎堆逻辑。