已知 x,y 都是实数，满足 2x+y≥1 ，求 y^2-2y+x^2+6x 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

dodonaomikiki

wo尝试作一哈
不一定对

谢芝灵

设  2x+y=a≥1  得 a的最小值为1
y^2-2y+x^2+6x =（a-2x）^2-2（a-2x）+x^2+6x
                       =a^2+5x^2+10x-4xa-2a
                       =5x^2+2x（5-2a）+a^2-2a
                       =5[x^2+2x（1-2a/5）+（a^2-2a）/5]
                       =5[（x+1-2a/5）^2-1+4a/5-4aa/25+5aa/25-2a/5]
y^2-2y+x^2+6x =5[（x+1-2a/5）^2-1+2a/5+aa/25]
上式取 （x+1-2a/5）=0，a=1 时上的值会最小，
解得：y^2-2y+x^2+6x =5（-1+2/5+1/25）
                                 =-14/5

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。