∏(1-1/p)与1/lnx的优劣异同

柳林

∏(1-1/p)与1/lnx的优劣异同


∏(1-1/p)与1/lnx的异同

∏(1-1/p)与1/lnx是表示素数密度的两个公式。在主流数学家眼里，后者优于前者。

那么，∏(1-1/p)与1/lnx有哪些差异和相同之处呢？


首先，我们说说它们的相同之处：

（1）∏(1-1/p)与1/lnx都可以表示素数密度。

（2）∏(1-1/p)与1/lnx的极限都是无穷小。

（3）∏(1-1/p)与1/lnx都有数学家的证明。

其次，我们说说它们的相同之处：

（1）虽然∏(1-1/p)与1/lnx都可以表示素数密度，但是它们的计算结果是不一样的。

（2）虽然∏(1-1/p)与1/lnx的极限都是无穷小，但是它们趋于无穷小的速度是不一样的。

（3）虽然∏(1-1/p)与1/lnx都有数学家的证明，甚至有人证明它们是相等的。可是就连


证明∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。的作者自己也用了两个“大致可以认为”。

这就充分说明两者并不是处处对应相等的。

最后，我们说说它们的优劣：

（1）从出身看，∏(1-1/p)是伟大的数学家欧拉从筛法得到并且证明的。应该是有效的。可是，

用N*Π(1-1/p)来计算N以下的素数个数时，计算结果并不尽如人意。尽管有时结果很接近,但是

当数值增大时误差会越来越多，甚至会出现误差项大于主项的情形。

（2）1/lnx是伟大的数学家欧拉的学生高斯用解析数论的方法得到，后来经过数学家证明的。

    1849年12月高斯与天文学家恩克通信中提到：

    我最初做的事情之一是把我的注意力集中在不断降低的素数分布率上。为此我计算了几个

1000中的素数分布，并把计算结果记在所附的白页上。

    我很快就发觉，尽管有波动起伏，但这个分布率平均地接近于其对数的倒数。

    很显然，高斯的1/lnx并不是从与素数有关的筛法中发现的。由此可见，它的出身不正。

    奇怪的是，这个出身不正的公式用来计算N以下的素数个数时，尽管计算结果也不尽如人意，

但误差却是稳定下降的，几乎不可能出现误差项大于主项的情形。


    于是乎，主流数学家都把x/lnx当作“素数定理”。

从上述素数史实中，我们可以看到：∏(1-1/p)与1/lnx各有优劣。但是无论怎么说，∏(1-1/p)

的缺点好像都是致命的。因为误差项大于主项是任何人都不能容忍的。

    举一个通俗的例子：

    工人和农民出身好，但是在发展生产力上却不尽人意。第一次工业革命时期，破坏机器还阻耐了

生产力发展。

    地主和资本家出身不好，尽管他们的剥削在发展生产力上也不尽人意，但是，钱是没少赚。

在向钱看的时代，他们就可以把它当作“素数定理”。

   

    下面的问题是如何避免用N*Π(1-1/p)来计算N以下的素数个数时，出现误差项大于主项的情形。

    不仅如此， 我们还要做到以下几点：

（1）尽可能的减少误差；最好把误差率尽快降低到1%左右，甚至1%%左右。

（2）尽可能地做到∏(1-1/p)对任何自然数都适用。

（3）尽可能地做到对∏(1-1/p)加以雕琢，即可适用k生素数。

（4）尽可能地做到对∏(1-1/p)加以精雕细琢，即可适用一切能用公式产生素数。


    我们完全有信心，这一天一定到来。

愚工688

（2）∏(1-1/p)与1/lnx的极限都是无穷小。
（3）∏(1-1/p)与1/lnx都有数学家的证明。

但是与教科书上面的极限判断理论存在矛盾。
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材第28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

1，看看筛法的素数出现率：  ∏(1-1/p)

π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
  在x→∞时，有 p→∞.
  因此有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
  它们的倒数 π[1/(p-1)]→0 、π[1/(p)]→0 则是两个无穷小量。

因此 π[1/(p)]/π[1/(p-1)] 的比值，取决于两个无穷小量相互间阶的高低，也就是它们趋向于0的速度比较。
  
  现在我们再来看看 x→∞过程中这两个无穷小量它们趋于0的速度的比较是怎么样呢？
  
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0

  显然两个无穷小量趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
  依据同阶无穷小量比较定理：
   x→∞时,（素数 p≤√x ）
  lim{π[1/(p)]/π[1/(p-1)]}=lim π[(p-1)/p]=lim π(1-1/p）= C ≠0 .

  这与现代数学界的在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 是矛盾的。（见王元《谈谈素数》章节12. 素数的出现概率为零）。

2.素数出现率 1/lnx 能否趋于无穷小
一，由素数定理 x→∞时 ，x以下的素数数量
π(x)= x/lnx ;  （式1）
式1的两边同除以x ,就是
π(x)/x =1/lnx ;  （式2）
式2的等号左端就是自然数 x以内的实际素数出现率；
等号右端就是依据素数定理的理论素数出现率。

由于 x→∞时 有 π(x)→∞ ，
因此实际素数出现率 π(x)/x 是两个无穷大量的比，也就是两个无穷小量的比：π(x)/x= [1/x]/[1/π(x)] .
两个无穷小量的比值取决于它们之间阶的高低。

现在从无穷小量的阶的概念出发，判断无穷小量[1/π(x)]、[1/x] 之间的阶的高低关系：
引入一个x→∞时比x低阶无穷大√x，那么 [1/x] 是比 [1/√x]  高价的无穷小量。
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /[1/√x]、 [1/x]/[1/√x]以及π(x)/x 的值变化：

x=10^2, π(10^2)=25; √x/π(x) = 0.4 ;[1/√x]=0.1；π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229; √x/π(x)≈0.08137 ; [1/√x]=1e-2；π(x)/x= .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736 ; [1/√x]=1e-4； π(x)/x ≈.057615 ;
x=10^12,π(10^12)=37607912018 ,√x/π(x) ≈2.659e-5 ; [1/√x]=1e-6；π(x)/x ≈ .03761;
x=10^16,π(10^16)=279238341033925, √x/π(x) ≈3.58e-7 ; [1/√x]=1e-8；π(x)/x ≈ .02792;
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; [1/√x]=1e-10；π(x)/x ≈.02221;
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290；√x/π(x) ≈4.964e-10 ; [1/√x]=1e-11；π(x)/x ≈.02015;

数据显示：
  x→∞的过程中，[√x/π(x)]值与[√x/x]值趋小的速度差得不多；
  
当然以目前的电脑科技水平，求出更大的x值内的π(x)值是不容易的，因此求得lim[√x/π(x)]=0 是困难的。
但是lim（√x/x)= lim（1/√x)=0 是确定的，而[√x/π(x)]的比值与[√x/x]趋小的速度差得不多，就足以判断出 [1/π(x)] 也是比 [1/√x]高价的无穷小量。
  
根据 1/x 与[1/π(x)]都是比 [1/√x] 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与[1/π(x)]是同阶无穷小量。
依据 同阶无穷小量的比较定理，得出
  x→∞时 lim π(x)/x = a ≠0 .

因此，所谓数学家已经证明的【（2）∏(1-1/p)与1/lnx的极限都是无穷小。】的结论，与教科书上的无穷小量的极限判断理论是存在矛盾的。

实际上，随着x的不断增大，x 之内的素数出现率并没有趋向无穷小的趋势，素数的出现率仅仅缓慢的下降，愈来愈缓慢而趋于稳定。

lusishun

》》》》（1）从出身看，∏(1-1/p)是伟大的数学家欧拉从筛法得到并且证明的

在伟大的数学家欧拉的公式中，初等数论与欧拉公式

欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉公式欧拉证明了下面这个式子：

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它

n 与p 都是互素的，

lusishun

柳琳先生：
   您一定要注意：众pj(j=1,2,……,m）都是素数，都是n的素因子。pj(j=1,2,……,m）不是n的素因子，是不能用这公式的。

万和永

愚工688先生关于极限和无穷的论述是对的，但是其结论：（实际上，随着x的不断增大，x 之内的素
数出现率并没有趋向无穷小的趋势，素数的出现率仅仅缓慢的下降，愈来愈缓慢而趋于稳定。）是不对的。

     其原因可能是 根据 1/x 与[1/π(x)]都是比 [1/√x] 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，

故1/x与[1/π(x)]是同阶无穷小量。)

     不能因为1/x 与[1/π(x)]都是比 [1/√x] 高价的无穷小量，就下结论说：故1/x与[1/π(x)]是

同阶无穷小量。

     因为有可能三者是一阶，二阶，三阶的关系。这样一来，就不能说二阶，三阶都比一阶高就是同阶。

我的看法不一定正确，仅供参考。