圆的等分（一）
韩永平
河北省石家庄市新乐市长寿中学 邮政编码：050700
E-mail：shjzhxlhyp@163.com
内容摘要：本文揭示了各种等分圆周的实质，找出了正多边形的求解公式，并且发现了代数方程的解同三角函数值之间的内在联系，因此本文是将等分圆周、代数方程及三角函数联系为一体的一篇作品。本篇分为三部分：第一部分为相互关系的推导；第二部分为对各种问题的具体分析，进而得出多边形的代数方程；第三部分是对本篇的总结及推论。由于本人知识水平有限,不足之处在所难免，望给予批评正。
圆的等分问题是数学史上一个比较著名的问题，这个问题虽然不像三大作图难题（立方倍积，三等分角和圆化方)那样出名，但是人们为解决这个难题的确也付出了辛勤和汗水。到目前为止，人们在圆的等分（或者说圆内接正多边形的几何作图法）方面已经取得了辉煌的成就，这些充分显示了人类的智慧，同时也在时刻激励着后人继续为之努力。
2000多年前，古希腊人就已经知道了用直尺和圆规对圆进行二等分、三等分、四等分、五等分、六等分等，也就是说二等分可以把圆分割为两个相等的半圆；三等分可以三等分圆周，同时可以做出圆内接正三角形。依照同样的道理，人们可以做出圆内接正四边形、正五边形、正六边形等。古人虽然进行了不懈的努力，但一直没有很大的进展，并且上述结果保持了近2000年。直到1795年，被誉为“数学王子”的德国数学家——高斯，在他18岁的时候 ，从代数的角度出发做出了正17边形，后经过他人努力，又做出了几种多边形。总之，现在已经知道的，可以用圆规直尺做出的正多边形，且边数在100之内的共有24种，现列举如下：
3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96等这24种情况的多边形（由于本文所涉及的多边形均为正多边形，所以将“正”字省去）。
由于六边形容易做出，所以古希腊人在做出六边形的基础上，用直尺和 圆规，通过合并或二等分，重复二等分的方法，得到了3边形、6边形、12边形 、24边形、48 边形、96边形等这 6种多边形；相互垂直的两条直径比较容易做出，所以人们在此基础上做出4边形、8边形、16边形、32边形、64边形等这5种多边形 又经过人们的努力，做出了5边形，10边形，20边形，40边形，80边形这 5种多边形后来。后来，人们做出15边形、30边形、60边形这3种多边形。
1795年，由于高斯的努力，发现17边形的关系式 ，并由此可以做出34边形、51 边形、68边形、85边形等这5种多边形。
总之，人类对圆的等分问题倾注了大量的心血也取得了辉煌的成绩。 另外我们知道：平面几何问题和代数问题之间是相互联系的，定量的数值可以有固定的点；反之，某一固定点则可以用某一数量关系来具体反映出来。那么等周圆的这个几何问题，又该怎样同代数问题联系在一起呢？
大家都知道几何问题的解决主要依赖于圆规和直尺这两大作图工具，且前人已就它的作图使用范围作了限定。而代数问题中，仅就含有一个未知数而言，随着次数的升高，其方程解的数目，也在不断的增多，那末就此问题来说，代数方程解的数目又同圆的等分有什么关系呢？同多边形作图的种类有何联系呢？
我们又知道每个方程都有固定的解，那么用直尺和圆规这两种工具来做图，对解的范围就有所要求：在实数范围内，如果代数方程的解，能用直尺和圆规做出，则这个圆 可以某等分；如果不能做出，则这个圆不可以某等分。从而将圆的等分来一个大的剖析，即哪些圆内接多边形可以做出，哪些圆内接多边形不可以做出；反之，对圆的作图问题的探讨是否也有利于代数问题的解决呢？ 现在，我们从代数的角度来分析这个问题：
首先，建立关于x轴、y轴的平面直角坐标系。为了使该问题的简便，暂且研究以正半轴上为起点，沿逆时针运行的各点。现在 x 轴的正半轴上取一点Q，设其坐标为（a，0）。
以原点O为圆心，以线段 OQ 长为半经作圆，则⊙o的方程是：x2 + y2 = a2 ，然后在x 轴的上部的圆弧上取一点A（x ，y），令A、Q两点的距离为单位长，以Q 点为圆心，以单位长为半径作圆，与⊙o相交于A点，那么我们求一下A点的坐标，可以建立如下的方程组：
在这里，我们假定了多边形的边长为单位长，把这个多边形的外接圆的半径a设为自变量，进而来研究。
下边来看这个方程组： 解：由②得 ：
x2-2ax+a2+y2=1
∴ 2a2-2ax =1
∴ 2ax=2a2-1
∴ x=
这是第一个交点的坐标，随着切割次数的增多，还会有许多个这样的横坐标x，因此我们把A点的横坐标定为x1，以后定为x2，x 3 … …。
我们知道关系式x2 + y2 = a2，所以只要求出了含有a的关系式，利用上边的关系，就一定能求出 y的关系式。为了简便计算，这里只求出 x就可以了。又因为用直尺和圆规截取圆周一定有两个交点，并且这两个交点是关于x轴对称的，在这里我们只取沿逆时针方向的截取点来研究，另一个方向的点就不再考虑，可以通过作关于x轴的对称点来求出。
Q( a ，0 )这个点位于x 轴上，意思是说Q点是某多边形外接圆的一个顶点，是起点，且位于x轴上，其横坐标a的绝对值为该外接圆的半径 。现在，只要 a 的值确定下来，那么这个圆就固定了, 当然该多边形也就确定下来。但能不能做出来这是尺轨的问题了。所以，第一个远离x轴的顶点的 坐标就是A(x ，y )。如果继续以A点为起点，以单位长去截取x2+y2=a2得（这里直接代入了x1）：
由①和③组成的方程解组为 ：
∴ x2 -2x + +y -2y + =1
∴ x2+y2-2x + -2y =1
∴ a2- + a2-2y =1
∴ (2a2-1)2(1- )2=(a2–x2)
∴ (2a2-1)2a2-2a(2a2-1)x+(2a2-1)2x2=a2(4a2-1)–x2(4a2-1)
∴ ((2a2-1)2+(4a2-1))x2-2a(2a2-1)2x+a2((2a2-1)2-(4a2-1))=0
∴ 4a4x2-2a(2a2-1)2x+a2(4a4-4a2+1-4a2+1)=0
∴ a(4a3x2-2(2a2-1)2x+a(4a4-8a2+2))= 0
∵ a≠0(如果a=0，则x2+y2=a2变为x2+y2=0，就是原点，失去研究的价值）
∴ 两边同除以a得：4a3 x2-2x(2a2-1)2+a(4a4-8a2+2)= 0
∴ x2 = ＝ =
现在我们来看一下，根号内(4a2-1)的取值情况：
最小的等分是二等分圆周，即该等分的直径恰好是单位长，所以所有的半径应该大于或等于 ，那么4a2-1≥0。
现在来看看根式前的正负号问题：根据两圆相交时的特点可知，如果取某一个比较大的a时，所求的符合要求的点横坐标应该是逐渐减小的，因此上边的式子的根号前应取负号：
X21= =
=
但当根号前取正号时:
X22= =a
也就是说，当根号前取正号时 ，这时分点的横坐标同原始起点的横坐标相同，合为一点。这与两圆相交时有两个交点的这一特征相吻合：其中一点为我们所求，另一点为该点关于两圆心的对称点。因此，为了简便起见，我们在这里规定根号前取负号 。
通过上边推导x1和x2的值，可以看到推导过程比较繁琐，而且都是在重复着同一个过程，那么是不是有一个更快捷的方法呢？
现在我们假设有这样三个连续点的横坐标 x n-1，xn，xn+1，其中xn -1和 xn是已知点的坐标，xn+1是未知点，代入方程得：
解④得：
x -2xxn+x +y2-2y +a2-x =1
∴ x2+y2+a2–2xxn+x -x -2y = 1
∴ 2a2-2xxn -2y =1
∴ 2a2-2xxn-1=2y
∴ 2a2-2xxn-1=2
∴ ((2a2-1)2-2xxn )2=4(a2-x2)(a2–xn)
∴ (2a2-1)2-4xxn(2a2-1)+4x2x =4a4 -4a2x -4a2x2+4x2x
∴ (2a2-1)2-4xxn(2a2-1)=4a4-4a2x -4a2x2
∴ 4a2x2-4xxn(2a2-1)+4a2x -4a2+1=0
x =
=
=
=
=
从上边的推理可知，根号前取正号时，其值为x n-1；当取负号时，其值是x n+1，即：
x n -1=
x n+1=
并且我们知道横坐标是xn的所在点是圆心横坐标是x n-1的所在点是符合条件的已知点，而横坐标是 xn+1的所在点是我们所求点，可以表示为：
∵xn - 1=
∴ 2a2xn -1=xn (2a2-1)+
∴ =2a2xn -1–xn(2a2-1)
∴ - =-2a2x n - 1+xn(2a2 -1)
∴x n + 1=
= =
也就是说，未知点的横坐标的求解可以通过关于原点—— 圆心的直线和所求点的对称点（已知点）来求出，即上边所求的：
xn+1=
现在，我们利用已知点来验证公式的准确性：如果以横坐标为x1所在的点为圆心，横坐标为a(即起点的点为已知点)，来求x2 ：
x2= =
这正是我们在前边所求的x2的值，只要按要求利用两已知点，根据两圆相交时有两个交点的性质，则可以求出 x3、x4、x5、… … xn一直到你所需要点的横坐标。
现在，我们利用公式求一下第三点的横坐标 ，此时x 2是圆心的横坐标，x 1是x3的对称点，则x3为：
x3= =
=
=
=
即第三点的横坐标x = 。
但这样计算起来还是比较麻烦，通过研究可知，还可以用竖式来推导，这样或许会更简单些 ，例如：
- 2 + 4 - 1 … … x n (x2)分子的相反数
+) 4 - 8 + 2 …… x n (x2)分子的2倍（前进一位）
4 -10 + 6 - 1 … … 两者相加的结果
- ) 2 - 1 … … x n-1 (x1)的分子同上式左齐相减
2 - 9 + 6 - 1 ……xn+1 (x3)的分子（其分母为2a5)
- 2 + 9 - 6 + 1
+ ) 4 -18 +12 - 2
4 -20 +21 - 8 + 1
- ）2 - 4 + 1
2 -16 +20 - 8 + 1 … … x 4的分子，分母是2a7
- 2 +16 - 20 + 8 - 1
+） 4 - 32 +40 -16 + 2
4 -34 +56 - 36 + 10 -1
-）2 - 9 + 6 – 1
2 -25 +50 - 35 + 10 -1…… x5的分子，分母是2a9
- 2 +25 -50 + 35 - 10 +1
+） 4 - 50 +100 - 70 + 20 –2
4 - 52 +125 -120 +55 - 12 + 1
-） 2 - 16 +20 - 8 + 1
2 –36 +105 -112 + 54 - 12 + 1… … x6的分子，分母是2a11
当然，通过竖式还可以解出许多关系式来，下边只列举了部分横坐标的关系式:
X0= a
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
x6=
x7=
x8=
x9=
+
x10=
+
x11=
+
x12=
+
x13=
+
x14=
+
+ x15=
+
+
圆的等分（二）
韩永平
河北省石家庄市新乐市长寿中学 邮政编码：050700
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上边我们推导了部分关系式，如果依照上边的方法，还将推导出无穷无尽的关系式。在推导这些关系式的过程中，由于数量关系越来越大，一旦出现错误，哪怕仅仅是一个小小的数字，都会影响到后边所有的结果。因此我们在推导这些关系式的过程中，都要随时随刻检查各关系式的系数(当然关系式中的符号比较简单，是正负相间），现在只讨论关系式的系数问题 。
在所有符合条件的多边形中，六边形是最简单的一种，其外接圆的半径是1，又由于1 计算起来比较简单，所以我们用六边形来考察系数问题，根据下图来看六边形各个顶点的位置( 如图 ）：
A 点的坐标是：（ ， )；B点的坐标是：(- ， ) ；C 点的坐标是：(-1 ，0 )；D点的坐标是：（- ，- ）
F 点的坐标是：( 1 ，0 )
当然各点的纵横坐标都显示出来是不错的，有利于作图。但是我们为了简便计算，只研究横坐标的取值情况可根据 x2 + y 2 = a 2来求y的值，因此我们这里只研究横坐标x的情况，即A、B、C、D、E、F各点的横坐标 。
根据上边知道A、B、C、D、E、F 各点的横坐标是 ： 、- 、-1、- 、 、1 。
如果第一分点的横坐标 x 1是A点的横坐标 ；第二分点的横坐标x2应该是B点的横坐标- , 依次类推。
那么，我们来看看关系式的取值及结果情况（现在只取 a = 1 这种情况）： x1 = = = x2 = = =- x3 = = = -1 x4 = = = - x5 = = x6= = 1
通过以上所求的x1、x2、x3、x4、x5、x6值，我们可以看到同 A、B、C、D、E、F点的横坐标一一对应，也就是说上边推导的xn的一系列公式是正确的，当然其纵坐标也应该是正确的，这里就不在一一列举。 X7= =
如果继续求值就会发现：x8的值同x2的值相同；x9的值同 x3的值相同； x10的值同 x4的值相同… … 。也就是xn说能够建立一系列的值，其值同 A、B、C、D、E、F点的横坐标相同，即一系列重复的值，周而复始。
如 x 6n+1、x6n+2、x6n+3、x6n+4、x6n+5、x6(n+1)同 x1、x2 、x3、x4、x5、x6的值相同(其中n为自然数 ) 。
也就是说，当多边形的边数确定后，其外接圆的半径亦确定，用单位长去截取圆周所获得的点也就固定下来。无论xn中的n取值怎样大，都是截取圆周所获得点的横坐标，而且随着n的增大，x会出现周期性的变化。
当然我们取其他正多边形的边长来检验也会得到同样的结论，只不过计算麻烦点而亦。因此，习惯上我们以六边形的外接圆半径1来检查 x n的正确性。
同时大家都明白：x n中的 n 的值越小，方程的次数也就越低 ,计算起来也就会更简便下面来分析x n 在不同位置的取值情况，及由此而推导出符合条件的不同值 。
我们知道多边形的边数有奇偶之分：现在先谈论边数为奇数的多边形的特点：
在奇多边形里，边数最小的奇多边形是正三角形，现在根据几何知识来分析它的各种情况：
根据三角形的特点 可知各顶点的坐标 ( 如图 ) : A 3（ x 1 ， ) ，B 3( x 2 ，- ) ，C 3( x3 ，0 )。因此根据等量关系来列出关系式，可以有如下几种情况（为了区别，我们将大写字母用脚码注明其边数）： ① A3 点到 x 轴 的距离为 ② A3 点与 B3点关于x轴对称 ③ B3 点到 x 轴 的距离为 ④ C3 点位于x轴 的正半轴（只谈横坐标) 根据上边的这4种情况列方程，来分析解的特点： 第一种情况：A3 点到 x 轴的距离为 设点A3在x轴的射影是A （ x1 ，0 )，其横坐标是相同的，所以根据两点间的距离公式得： （ x1- x12 +（y1 - 0）2 =（ ）2 ∴ y = 又 ∵ x2 + y2= a2
a2–x = a2-( ) =
∴ 3a2 = 1 ∴ a = ±
( a , 0 ) 是 x 轴上 的点，虽然假设其在 x 轴 的正半轴，但是符合条件的位于 x 轴 的负半轴上也可有一点。通过关系式将所有符合条件的解都列举出来。 也就是说，a =± 是符合条件的三角形的所有解 ，其外接圆半径是 ，作图过程是这样的，分别在 x 轴的正负半轴上找（ ± ，0 ）点，以其为 圆心 ，以 为半径作圆，然后以单位长去截取，每个交点是该圆内接三角形的顶点 。
也可以根据几何知识来证明：
设以边长为单位长所对的圆心角为α , 则
cosα= = -
又∵ α∈( 00∽1800)（以后都是在这个范围中研究的，除非特别指出）
∴ α= 1200
∴ = 3 ，可以三等分圆周 。
为了简便程序 ，如果出现关于y 轴对称的图形时 ，只作出以 x 轴正半轴为起点的这种情况 ，另一种图形可通过关于y轴相对称的图形作出 。
第二种情况: A3 点与B3 点关于x 轴对称 ：因为A3 点与B3点关于x轴对称 ，所以A3、B3两点的横坐标相同，纵坐标相反。
先看看横坐标相同的这种情况： 即 x1 = x2 ∴ 2 a4- a2= 2 a4- 4 a2+ 1 ，即 3a2- 1=0（ 这个结果同上边相同）。
再看纵坐标相反这种情况：
即： y1=-y2 ∴ y - y =( a2–x )-( a2– x ) ∴ (x1 - x2 )( x1 + x2 ) = 0 而 x1- x2 = 0上边已讨论过，看一下 x1 + x2 = 0 即： + = 0 ∴ 4a4- 5a2+ 1=0 ∴ a1 =±1 , a2 =± 当 a = ±1时，设每边所对的圆心角是α ∴ cosα= = ∴α= 600 因此，当 a1 =±1时，所作的图形为正六边形，如右图所示 。当 a2 =± 时，设每边所对的圆心角β ∴ cosβ = = -1。因此β= 1800 ，将圆平均分为了两份 。 ∴分别把 a2-1= 0和 4 a2 -1 = 0叫做六边形和二等分方程，同理将3a2-1 = 0 叫做三角形方程。
由y1 = - y2，两边平方得到 x1–x2 =0和 x1 + x2 =0两个式子，这是由于平方扩大了范围所造成的，但我们同时也看到两个关系式相加或相减所得到的结果是大不一样的，两横坐标相加得零，表示两点关于y轴对称；两横坐标相等，表示关于x 轴对称。
∴ a2 - x = a2 -（ ）=
∴ 15a6 - 20a4 + 8a2-1= 0, 我们知道，这是求三角形的方程的关系式。因此 ，一定有方程 3a2-1 = 0 ，即是方程 15a6 -20a4 +8a2 -1 = 0的子方程 ，因此（3a2 -1）定是 （15a6-20a4 +8 a2-1）的一个因式。
∴(3a2 -1)( 5a4- 5a2 +1)=15a6- 20a4+ 8a2-1
∴ 3a2 - 1= 0前边已经解出，在此不再讨论，那么5a4- 5a2 +1= 0的解又是怎样的呢？根据求根公式得： a2 = = ，即 a = ±
现在讨论a=± 的值与作图的关系，为了研究的方便，只取a为正值这种情况即a= 或 a = 时的情况
首先，我们来研究一下十边形的边角关系： 在十边形中，每边所对的中心角中最小的是360 ，建立以360 角为顶角的等腰三角形 ，则是如下的情形：（如图）
其中∠O =360。∠A =∠B = 720，AC为 ∠OAB的角平分线 ，求cos720 = ?
解：（过程略）
得： cos720 =
然后我们来看一下这种边角关系，如果以此作等腰三角形的腰长，单位长为底边，组成三角形，其顶角有什么特点 ？ 解：设顶角为γ ∴ cosγ= = = cos720
也就是说以半径为 所作的圆 ，用单位长去截取圆周，每截取一份所对应的圆心角是720，很容易明白正好可以五等分圆，当然可以作出圆内接五边形（所作出的如右图）。
如果以 为腰，以单位长作底边，组成等腰三角形，其顶角又有什么特点 ？ 解：设其顶角为δ ∴ cosδ= = 可知 900＜δ＜1800 ，根据倍角关系知： cos（720×2）= 2 cos2 720 - 1 = ∴ γ= 1440（ 见右上图 ） 即以 为半径所做的圆 ，同以 为半径所作的圆，用单位长截取后所对的圆心角之间的关系是：后者是前者的二倍，转两周可以作出五边形。
通过对上边五边形的分析可知，同一多边形的不同种多边形作图形式从根本上来说是有内在联系的，他们可以用同一个方程式来表示，且方程式的根是该多边形不同种形式的外接圆的半径。
第四种情况 ：C3点位于x轴的正半轴 ∴ x3 = a 即 = a ∴（3a2-1）2 = 0 ( 这是三角形的方程 ）
以上是对三角形的各种情况的分析，会发现都有三角形的方程。（以后为了研究上的方便，我们将图上的大写字母 A、B、C 、D、…… 同x1、x2、x3、x4……的顺序排列起来，便于记忆运算 )。
那么，五边形有什么特点呢？
如右图，该图的位置关系中，虽然 A5 、D5 两点关于x轴对称，但其坐标不容易确定；B5 、C5的纵坐标较确定；E5的坐标较确定，因此根据这些关系列举下列关系
① A5、D5两点的横坐标相同 ② A5、D5两点的纵坐标相反 ③ B5点的纵坐标是 ④ C5点的纵坐标是-
⑤ B5、C5两点的横坐标相同 ⑥ B5、C5两点的纵坐标相反
⑦ E5 点的横坐标是a
下面分析这几种情况的关系式：
第一种是A5、D5 两点的横坐标相同 即：x 1 = x 4
∴ = ∴ 2a8 – a6 = 2a8- 6a6 + 20a4 - 8a2 + 1 ∴ 15a8 - 20a4 +8a2 -1 = 0 ∴(3a2 -1)(5a4 -5a2 +1)= 0 这是因为在三角形中A3 D3两点是重合的，当然 x1 = x4 ，所以它包含了三角形方程，五边形方程是我们所求的，这时两点关于x轴对称。 第二种 A5、D5两点的纵坐标相反 即：y1 = - y4 ∴ y =y ∴（x1–x4 )( x1 + x4 )= 0 x1- x4= 0 ，该式上边已经讨论过，现在看看 x1 + x 4 = 0 ∴ + = 0 ∴ 4a8 - 17a6 + 20 a4 - 8a2 +1= 0
∴ ( 4a2-1)( a2–1)( a4-3a2 +1 )= 0
4 a2 - 1 = 0这是二等分圆周的方程（左） ， a2 -1 = 0这是六边形的的方程（中） ；a4 -3 a2 +1 = 0,这是十边形的方程。 从中可以看出，每种图形中的x1和x4都是位于y轴两侧的，且互相对称， 这是形成x 和 x 是相反数的原因，因此会得到 x1–x4 = 0 第三种情况： B5点的纵坐标是 即：y2 = ∴a2- x =( )2 ∴ a2 -( )2= ( )2 ∴ (3 a 2-1 )( 5a4 - 5a2+ 1)= 0 平方后有三角形和五边形两种情况，将B3点的纵坐标为 - 也包含进去。 第四种情况： C5点的纵坐标是 - 即：y2 = - ∴ a2 -x =(- )2
∴ a2-（ ）2 =（- ）2 ∴ 35a10-105a8 +112a6 -54a4 +12a2 -1=0 ∴ (5a4-5a2+1)(7a6-14a4 +7a2-1)= 0（平方后包含了五边形和七边形两种情况）。 第五种情况：B5、C5两点的横坐标相同： 即：x2 = x3 ∴ = ∴ 2a6 - 4a4 + a2 = 2a6- 9a4 + 6a2- 1 ∴ 5a4 -5a2 +1= 0 这是五边形方程。 第六种情况 ：B5 、C5两点的纵坐标相反 ： 即 y2 = - y3 ∴ a2–x = a2-x ∴(x2 – x3 )( x2 + x3 ) = 0 x2 – x3 =0就是x2 = x3 现在只看看 x2 + x3 = 0即: + = 0 4a6-13a4+ 7a2 -1= 0 ( 4a2 -1)( a4 -3a2 +1) = 0 下面分别看看两种不同情况下的图形(如右图)： 第七种情况 ：E 点的横坐标是a,即 x5 = a
∴ = a
∴ 25a8 - 50a6 + 35a4 -10a2 + 1= 0
∴ ( 5a4- 5a2+ 1)2 = 0
通过以上分析可知在所有这些求解五边形方程的关系中，位于 x 轴的负半轴且离负半轴最近的点的两个横坐标相等是最简单又方便的方法。
下边看一下七边形的情况：
根据如上所示，可以列举出如下的关系：
① A7 F7两点关于x轴对称 ④ D7 点的纵坐标是-
②B7 E7两点关于x轴对称 ⑤ C7 D7两点关于 x轴对称
③③ C7点的纵坐标是 ⑥ G7点位x轴的正半轴上
第一种情况：A7 F7 两点关于x 轴对称 即有两种情况 x1 = x6和 y1 = -y6 先看 x1 = x6
∴ =
∴ 35a10-105a8+112a6 -54a4+12a2-1= 0
∴ ( 5a4- 5a2+1)(7a6-14a4+7a2-1)=0
这是五边形和七边形的图形（其中两点重合或关于轴对称）：
再分析 y1 = - y6的情况：
a2- x = a2- x 即 x - x =( x1–x6)( x1 + x6 )= 0 x1–x 6=0前边已经谈论过，现在看看 x1 + x6 = 0
∴ + =0
∴ 4a12-37a10+105a8 -112a6 +54a4-12a2+1 = 0
∴(4a2-1)( a4-3a2+1)(a6-6a4+5a2-1)= 0 这是二等分，十边形和十四边形的总方程， 可以用右图来解释： 第二种情况： B7E7两点关于x 轴对称。 即有两种情况 x2 = x5和y2 = - y5。
先看x2 = x5
∴ 21a8-49a6+35a4-10a2+1=0
∴上式=( 3a2-1)(7a6 -14a4+7a2-1)= 0这是三角形和七边形的总方程 。 再分析 y2=-y5的情况： 即可变换为(x2–x5)(x2 + x5)=0 ,现在只讨论x2 + x5= 0
∴ + = 0
∴ 4a10-29a8+51a6-35a4+10a2-1 = 0
即(4a2-1(a2-1)(a6-6a4+5a2-1)=0是二等分圆周，六边形和十四边形的总方程。 第三种情况： C7点的纵坐标是 ，即：y7 =
∴ a2 - x = ，即：35a10-105a8+112a6-54a4+12a2-1= 0
∴ 上式 =(3a2 -1)(5a4- 5a2+1)=0这些分别可构成五边形和七边形的方程。 第四种情况：D7点的纵坐标是- , 即y4 =-
∴ y =
∴ a2- x =
∴ 63a - 336a12 + 672a10 - 660a8 + 352a6- 104a4+ 16a2 -1= 0
∴上式=(3a2-1)(7a6-14a4+ 7a2-1)(3a6 -9a4+6a2-1)=0这些分别是三角形，七边形和九边形的总方程( 这些图形方程的第四点的纵坐标都是± ）。
第五种情况： C7 D7两点关于x轴对称，即有两种情况x3 = x4和y3 = -y4
先看x3=x4
∴ =
∴ 7a6-14a4+7a2-1=0这是七边形的方程。
再看y3= - y4即y = y
现在只研究 x3 +x4 = 0
∴ + = 0
∴ 4a8-25a6+26a4-9a2+1=0
∴ (4a2 -1)(a6-6a4+5a2-1)=0这些是二等份圆周和十四边形的方程。 第六种情况： G7点位于x轴的正半轴上
∴x7= =a
∴ (7a6 -14a4 + 7a2 -1)= 0当然 ，这是七边形的方程了。
上边我们谈论了三角形，五边形和七边形的各种情况，从这里会发现有这样的现象： 在所有的奇多边形求解方程中，最靠近x轴的负半轴的两点的横坐标相等是所有推出的关系式中最简单的求解方程，依次向右，逐步向x 轴的正半轴移动，除所求的方程外依次有三角形方程，五边形方程……直到回到起点（也叫终点）变成所求方程的平方。
求解奇多边形的方法是利用两个横坐标相等，但在实际操作的过程中，我们也探讨了互为相反数的问题，而这些涉及到偶多边形的问题。
边数 关系式 (注：幂指数的一半与解的个数相同） 3 3a2-1= 0 5 5a4-5a2+1= 0 7 7a6-14a4+7a2-1= 0 9 3a6-9a4+6a2-1= 0 (请看第三部分) 11 11a10-55a8+77a6-44a4+11a2-1= 0 13 13a12-91a10+182a8-156a6+ 65a4-13a2 +1 = 0 15 a8-8a6+14a4-7a2+1=0 17 17a16-204a14+714a12-1122a10+935a8-442a6+119a4-17a2+1= 0 19 19a18-285a16+1254a14-2508a12+2717a10-1729a8 +665a6-162a4+19a2-1= 0
上边我们分析了边数为奇数的多边形的各种情形 ，如果我们按照上边的推理还将推导出无穷无尽的关系式，并且可以推出所有的奇多边形的作图方程，由于篇幅的限制，这里就不在列举了，留与诸位去研究。
下边我们谈论一下边数为偶数的多边形的情形：
由于偶多边形的特点以及研究的方便，我们在这里将它们分为可以被 4 整除的偶多边形和只能被2整除但不能被2整除的偶多边形两种情况来研究，现在先看一下边数能被4整除的多边形的特点：
现在先看一下4边形的特点：
① 点A4 的横坐标是0 ，纵坐标是 a
② 点B4 的横坐标是 -a ，纵坐标是0
③ 点C4 的横坐标是0，纵坐标是 -a
④ 点D4 的横坐标是a，纵坐标是0
⑤ 点A4 和C4 两点关于x轴对称
⑥ 点B4 和D4 两点关于y轴对称
下边就来研究各种情况下的关系式 ：
第一种情况：点A4的横坐标是0 ，纵坐标是a
∴ x1 = 0 ，y1 =a
先看x1 = 0，即：
X1 = = 0
∴ a =± 这是四边形的方程。
再看 y1= a，即 y = a2 - x = a2
∴ x = 0 与 x1 = 0相同。
第二种情况： 点B4 的横坐标是 - a，纵坐标是0
先看 x2 = - a
∴ x2 = = - a
∴ 4a4 - 4a2 +1 = 0 ,即2a -1= 0如第一种情况
再看y2 = 0 ，即 a2- x = 0
a2 -( )2= 0
∴ ( 4a2-1)(2a2-1)2= 0 这是二等分圆周和四边形的总方程
第三种情况：点C4的横坐标是 0 ，纵坐标是 - a ，
先看x3 = 0
∴ x3= = 0
∴ 2a6 - 9a4 + 6a2 -1= 0
∴ ( 2a2-1)(a4-4a2+1)= 0
∴ 2a2 -1= 0（不再解释）或 a4 - 4a2+1= 0
那么 a4 -4a2 +1= 0 是什么呢？
∵ a2 = = 2±
设当 a2= 2+ 和 a2 = 2- 时其夹角分别为α1，α2
cosα1= = =
∴α1 = 300同理α2 = 1500
因此，该方程的根与十二边形有关，其作图的外接圆半径是│± │.
再看纵坐标y3是 -a的这种情况：
∴ a2- x = a ,即x3 = 0 即上边的那种情况。 第四种情况： 点D4的横坐标是 a ，纵坐标是 0
∴ x4 = = a
∴ ( 2a2 -1)2(4a2 -1)=0 这是关于二等分圆周和四边形的总方程。
再看纵坐标是0的这种情况，即y4 = 0
∴ a2- x =0
∴a2-( )2 = 0
∴ (4a2- 1)(2a2 -1)(2a4-4a2+1)= 0
这是二等分圆周、四边形和八边形的方程。
第五种情况：点A和C两点关于x轴对称
有两种情况 ：x1= x3 ,y1 = -y3
先看 x1 = x3
即: =
∴ 8a4- 6a2 +1=0，即(2a2 -1)(4a2 -1)= 0 这是二等分圆周、四边形的方程。
∴再看y1= - y3
∴ x = x
∴(x1–x3) (x1 + x3)= 0
现在只看看 x1 + x3 = 0
∴ + = 0
∴ 4a6 -10a4 + 6a2 -1= 0
∴ (2a2 -1)（2a4-4a2+1）= 0 这是关于四边形和八边形的总方程。
第六种情况：点B4和D4两点关于x轴对称
有两种情况 ：x2 =x4 ,y2 = - y4
先看 x2 = x4
=
∴ 12a6 -19a4 +8a2-1= 0
∴( 3a2 -1)(a2 -1)(4a2-1)= 0 这是关于三角形，六边形和二等分圆周的总方程。
下面看一下八边形的特点，可知有以如下几种情况：
①A8与C8关于y轴对称 ，即x1= -x3 ,y1= y3
②A8与E8关于原点对称 , 即x1=- x5 ,y1=-y5
③A8与G8关于x轴对称 , 即x1=x7 ,y1=-y7
④B8点位于y8 轴的正半轴 , 即 x2= 0 ,y2= a
⑤ B8与 F8关于x轴对称 , 即x2= x6 , y2= -y6
⑥ C8与E8关于x轴对称,即x3 = x5 ,y3 = -y5
⑦ C8与G8关于原点对称 ,即 x3 = -x7 ,y3= -y7
⑧ D8落在x8轴的负半轴上 ,即x4 = -a ,y4 = 0
⑨ D8 与H8关于原点对称 ,即x4= -x8 ,y4=y8=0
⑩ E8点与G8点关于y轴对称 ,即x5= -x7,y5= y7
⑾ F8点位于 y 轴的负半轴上 , 即 x6= 0 ,y6 = -a
⑿ H8点位于x轴的正半轴上 ,即x8 = a ,y8 =0
第一种情况： A8与C8关于y轴对称，即x1= -x3 ,y1= y3
先看x1= -x3
即为 x1 + x3 = 0,前边已讨论过。
再看 y1 = y3
∴ x1 + x3 = 0，x1–x3= 0
而 x1–x3= 0前边也讨论过
第二种情况：A8与E8关于原点对称 ,即 x1=-x5 ,y1=-y5
∴先看 x1=-x5 即 x1+ x5 = 0
∴ + = 0 ∴ 2a10- a8 + 2a10- 25a8+ 50a6- 35a4 + 10a2 -1= 0
∴ (2a2-1)(2a4- 4a2 +1)(a4-4a2 +1) = 0这是四边形、八边形和十二边形的总方程。
再看 y1 = -y5
∴ x1 – x5= 0或 x1 + x5 = 0（该式已讨论过）
只看 x1 – x5 = 0
∴ - = 0
∴ 24a- 50a +35a - 10a +1= 0
∴ （a2 -1)( 2a2 -1)( 3a2 -1)(4a2 -1)=0 这是关于六边形、四边形、三边形、二等分圆周的总方程。
第三种情况：A8与G8关于x轴对称 ,即x1= x7 ,y1 =–y7
先看 x1 = x7
∴ - = 0
∴48a12 -196a10 +294a8 -210a6 +77a4 -14a2 +1 = 0
∴（a2 -1)(2a2-1)(3a2-1)(4a2-1)(2a4-4a2+1 )= 0 这是关于六边形、四边形、三边形、二等分圆周和八边形的总方程。
再看 y1 = -y7
∴x1 + x7 = 0或 x1–x7 = 0（该式已讨论过）
只看x1 + x7 = 0
+ = 0
∴4a14-50a12 +196a10-294a8+210a6-77a4 +14a2-1 = 0
∴（2a2-1)(2a8-16a6+20a4-8a2+1)(a4-4a2+1)= 0 经过分析知道这分别是四边形、十六边形和十二边形的总方程。
第四种情况：B点位于 y 轴的正半轴 , 即 x2= 0, y2= a
先看x2= 0
∴ = 0
∴ 2a4- 4a2 +1 = 0这是八边形的方程
再看 y2 = a
∴ x2 = 0这同上边有一样的结果
第五种情况：B8与F8关于x 轴对称, 即 x2= x6 , y2= -y6
先看x2= x6
∴ - = 0
∴ 32a10 -104a8 +112a6- 54a4 + 12a2 -1= 0
∴(4a2 -1)(2a2 -1)(2a4- 4a2 +1)=0这是二等分圆周、四边形和八边形的总方程。
再看 y2= - y6（ 其实 ,通过纵坐标来研究关系式其实质是求xn- xm = 0或 xn + xm = 0 ,因此类似的我们直接列举相应的关系式）。
即在这里其实质是研究 x2 + x6 = 0
∴ + = 0
∴4a12 - 40a10 + 106a8 - 112a6 + 54a4 -12a2 +1= 0
∴(2a8-16a6+20a4-8a2+1)(2a4-4a2 +1)= 0 这是十六边形和八边形的总方程。
第六种情况：C8与E8关于x轴对称 ,即 x3 = x5 ,y3 = -y5
先看 x3 = x5
∴ - = 0
∴ 16a8-44a6+34a4-10a2+1= 0
∴ ( 2a2-1)( 2a4-4a2 +1)( 4a2-1)=0这是四边形、八边形和二等分圆周的总方程。
再看y3= -y5即求 x3 + x5 = 0
∴ + = 0
∴4a10- 34a8 + 56a6 -36a4 + 10a2 -1= 0
∴( 2a2 -1)( 2a8-16a6+20a4- 8a2+1 )= 0这是四边形、十六边形的总方程。
第七种情况：C8与G8 关于原点对称， 即x3 = -x7， y3 = -y7
先看 x3 = -x7
∴ +
= 0
∴ 4a14- 58a12+ 202a10- 295a8 +210a6- 77a4 +14a2 -1=0
∴ ( 2a4-4a2+1)( 2a2-1)(a8-12a6+19a4-8a2 +1)= 0 这是八边形、四边形二十边的总方程。
再看y3 = -y7，即这里求x3–x7 = 0
∴ -
= 0
∴ 40a12 - 190a10 + 293a8 - 210a6 + 77a4 -14a2 + 1= 0
∴( 4a2 -1)( 5a4-5a2+1)( 2a2 -1)( a4 -3a2 +1 )= 0这是二等分圆周、五边形、四边形、十边形的总方程。
第八种情况： D8落在x轴的负半轴上, 即 x4 = -a , y4= 0
先看 x4 = -a
∴ = - a
∴ 4a8-16a6+20a4-8a2+1= 0
∴(2a4-4a2+1)2= 0 这是八边形的方程。
再看 y4 = 0 ，即求x4 = a
∴ = a
∴ 16a6 -20a4 +8a2 -1= 0
∴ ( 4a2 -1)( 2a2-1 )= 0这是二等分圆周、四边形的总方程。
第九种情况：D8与H8关于原点对称,即 x4 = -x8 ,y4 = y8 = 0
先看x4 = - x8
∴ + + = 0
∴ 4a -80a +356a -680a +661a -352a +104a -16a +1= 0
∴( 2a -4a +1)(a -16a + 20a -8a +1)= 0这是八边形和二十四边形的总方程。
再看 y =y = 0，即求 x =±a , x =±a ,x =x
∴先看 x = -a（ x = a上边已讨论过）
∴ = - a
∴ 4a -16a +20a -8a +1 = 0
∴ (2a - 4a +1) = 0这是八边形的方程。
再看x =±a，这里先看 x =a
∴ =ａ
∴ 64a - 336a + 672a - 660a +352a -104a + 16a -1= 0
即(4a -1)( 2a -4a +1)(2a -1)= 0 这是二等分圆周、八边形和四边形的总方程。
再看x =-a
∴ = - a
∴ 4a - 64a + 336a -672a + 660a - 352a + 104a -16a +1= 0
即 (2a -16a +20a -8a +1) = 0 这是十六边形的方程。
再看x - x = 0
∴ - + = 0
∴ 48a -316a +664a -659a +351a -104a -16a +1 = 0
∴ （3a -1)(a -1)(2a -1)(4a -1)(a - 4a +1)= 0这是三角形、六边形、四边形、二等分圆周、十二边形的总方程 。
第十种情况：E8点与G8点关于y轴对称 ,即x5= -x7 ,y5 = y7
先看 x5= -x7 ，即
= - ＋
∴ 4a -74a +246a -329a +220a -78a +14a -1= 0
∴( 2a -1)( 2a -4a +1)(a -16a +20a +8a -1)= 0 这是四边形、八边形、二十四边形的总方程 。
再看y =y ,即 x =x
∴ = +
∴ (4a -1)(3a -1)(2a -1)(a -1)(a - 4a +1) = 0 这是二等分圆周、三边形、四边形、六边形、十二边形的总方程 。
第十一种情况：F 点位y轴的负半轴上,即x =0 ,y = -a都可以看作是x = 0
∴ = 0
∴ (2a -4a +1)(a -16a +20a - 8a +1)= 0这是八边形，二十四边形的总方程。
第十二种情况 ：H 点位于x轴的正半轴上,即x =a , y = 0。都可以看作是x =a
∴ = a
∴64a -336a +672a -660a +352a -104a +16a -1= 0
∴(4a -1)(2a -4a +1) ( 2a -1) =0是二等分圆周、八边形和四边形的总方程。
上边我们谈论了四边形、八边形的情况，从中可以发现这样的现象：
在求解能被 4 整除的多边形的方程中，第一次位于轴的点的横坐标是 0 的关系式是最简单的方法，因此会有如下的关系：
边数 关系式
4 2a -1= 0
8 2a - 4a +1 = 0
12 a -4a +1= 0
16 2a -16a +20a -8a +1 = 0
20 a -12a +19a -8a +1= 0
当然还可以推出许多关系式，与这些关系式相关的多边形的边数都是能被 4 整除的。因此，边数能被 4 整除的多边形的关系式是以商做脚码的 x 的分子为零（这里的商是边数除以 4 所得的结果）。
那么，不能被4 整除的偶多边形又有什么特点呢？
不能被4整除的偶多边形有二边形（二等分圆周 ）、六 边形、十边形等。由于二边形比较简单，不在讨论，所以我们先来讨论一下六边形的情况：（如图所示）
下面看一下六边形的特点,可知有以如下几种情况：
① A 点的横坐标是 ，即x=
② A 点同B 点关于y轴对称，即x +x = 0,y =y
③ A 点同D 点关于原点对称，即x +x = 0 ,y =-y
④ A 点同E 点关于x轴对称，即x - x = 0 , y =-y
⑤ B 点的横坐标是-
⑥ B 点同D 点关于x轴对称,即x =x ,y = -y
⑦ B 点同E 点关于原点对称,即x +x =0 ,y =-y
⑧ C 点同F 点关于y轴对称且位于x轴上，即 x = -a , x = a , x +x = 0 , y =0,y =0
⑨ D 点横坐标是-
⑩ D 点同E 点关于y轴对称，即 x + x = 0 , y = y
⑾ E 点的横坐标是
⑿ F 点落在x轴的正半轴上,即 x =a ,y = 0
第一种情况： A 点的横坐标是 ，即x =
∴ =
∴(2a+1)(a-1)= 0 这是二等分圆周，六边形的总方程。其中二等分圆周的起点是（- ,0），沿着逆时针截取，第一个截取点是（ ，0 ）；六边形的起点是（1 ， 0 ），沿着逆时针截取，第一个截取点的横坐标是 。也就是说不论起点在什么地方，沿着逆时针去截取，经过相同的次数，只要截取点的横坐标相同，则都在这个关系式中。
第二种情况：A 点同B 点关于y轴对称，即 x + x = 0 , y = y
先看 x + x = 0
∴ + = 0
∴ 4a -5a +1 = 0
∴ (4a -1)(a -1)= 0 这是二等分圆周和六边形的总方程。
再看y =y ，则会有x + x = 0 和x - x = 0
现在只研究 x - x = 0
∴ - = 0
∴ 3a -1= 0这是三角形的方程。
第三种情况：A 点同D 点关于原点对称，即x +x = 0,y = -y
先看x +x =0
∴ + = 0
∴ 4a -17a + 20a -8a +1= 0
∴(4a -1)(a -1)(a -3a +1)= 0这是二等分圆周，六边形和十边形总方程。
再看 y = -y ，在这里其实质应该是研究 x - x = 0
∴ - = 0
∴ 15a -20a + 8a -1= 0
∴ (3a -1)(5a -5a +1) = 0 这是三角形和五边形总方程。
第四种情况：A 点同E 点关于x轴对称，即 x +x = 0 , y =-y
先看x +x = 0
∴ + = 0
∴( 2a -4a +1)(2a -1)(a -4a +1)= 0这是八边形、四边形和十二边形总方程。
再看 y =-y ，在这里其实质应该是研究x - x = 0
∴ - =0
∴ 24a -50a +35a -10a +1 = 0
∴(a -1)(2a -1)(3a -1)(4a -1)=0这是六边形、四边形、三角形和二等分圆周总方程。
第五种情况： B 点的横坐标是-
∴ x = =-
∴(a-1)(2a+1)(a +a-1)= 0前两种是六边形和二等分圆周的方程，后边是什么呢?
下面我们来解这个方程：a + a-1= 0
a = , 即a = 或a =
当 a = 时，令其角为α
cosα= =
∴α= 36
当 a = 时，令其角为β
cosβ= =
∴β=108
当α= 36 和β = 108 时，这都是同十边形有关的两个角度，所以a + a -1 = 0 是十边形的方程。
第六种情况： B 点同D 点关于x轴对称, 即x =x ,y = -y
先看x = x
∴ - = 0
∴ 12a -19a +8a -1= 0
∴ (3a -1)(a -1)(4a -1)= 0 这是三角形、六边形和二等分圆周总方程。
再看 y = -y ，在这里其实质应该是研究 x + x = 0
∴ + = 0
∴ 4a -20a +21a -8a +1= 0
∴ ( 2a -1) (a -4a +1)= 0 这是四边形和十二边形总方程。
第七种情况：B 点同E 点关于原点对称 ,即 x + x = 0 , y =-y
先看 x + x = 0
∴ + = 0
∴ 4a -29a +51a -35a +10a -1= 0
∴ (4a -1)(a -1)(a - 6a + 5a -1)=0这是二等分、六边形和十四边形总方程。
再看y = -y ，在这里其实质应该是研究 x - x = 0
∴ - = 0
∴ 21a -49a +35a -10a +1=0
∴ (3a -1)(7a -14a +7a -1)=0这是三角形和七边形总方程。
第八种情况：C 点同F 点关于y轴对称，位于x轴上，即 x = - a , x = a , x + x =0,y =0 ,y = 0
先看x = -a
∴ = -a
∴ 4a -9a +6a -1= 0
∴ (a -1) (4a -1)= 0这是六边形和二等分圆周总方程。
再看 x = a
∴ = a
∴ 36a -105a +112a -54a +12a -1=0
∴ 上式=（4a -1）(3a -1) (a -1)= 0这是二等分、三角形和六边形总方程。
再看 x + x = 0
∴ + = 0
∴4a - 45a +111a -113a + 54a -12a +1= 0
∴ 上式=(4a -1)(a -1)(a -9a +6a -1)= 0 这是二等分、六边形和十八边形总方程。
再看y = 0，在这里其实质应该是研究 x = a
∴ = a
∴ (3a - 1) = 0 这是三角形方程。
再看 y = 0，在这里其实质应该是研究x = -a
∴ = - a
∴ 4a -36a +105a -112a +54a -12a +1 = 0
∴上式= (2a -1) (a -4a +1) = 0 这是四边形和十二边形总方程。
第九种情况：D 点横坐标是-
∴ x = =-
∴(a-1)(2a+1)(a +a -7a -3a +5a + a-1)=0这是六边形、二等分圆周和其它多边形总方程。 那么，方程 a +a -7a -3a + 5a + a-1 = 0 的解与那些多边形有关呢？在这里我想与诸位同仁共同商量，但是可以肯定的是，与解有关的多边形经过四次截取后，交点的横坐标都是- ，经过推测，其中有一个解与十四边形有关系，且该解为正值，且这个解是所有正值中最大的；还有一个解与十八边形有关系，其值为负值，这个解是所有负值中最大的。
第十种情况：D 点同E 点关于y轴对称，即x + x = 0，y = y
先看x + x = 0
∴ + = 0
∴ 4a -41a +70a -43a +11a -1 = 0
∴上式=(4a -1)(a -1)(a -9a +6a -1)=0这是二等分圆周 、六边形和十八边形总方程。
再看y =y ,在这里其实质应该是研究 x -x =0
∴ - = 0
∴上式=(3a -1)(3a -9a +6a -1)= 0这是三角形 和九边形总方程。
第十一种情况： E 点的横坐标是
∴ x = =
∴(2a+1)(a-1)(a -12a -6a +16a +5a -7a - a +1) = 0 这是四边形六边形和符合条件的多边形的总方程.
第十二种情况：F 点落在x轴的正半轴上，即x = a ,y = 0 先看x =a
∴ = a
∴ 36a -105a +112a -54a +12a -1= 0
∴上式=(a -1)(4a -1)(3a -1) =0这是六边形、二等分圆周和三边形总方程。
再看y = 0，在这里其实质应该是研究x = a,这里就不再研究了.
通过对六边形的分析可知，其中 x +x = 0 是最简单的，那么我们现在来看十边形有什么特点呢？
可以列举如下：
① A 与D 关于y轴对称，即x +x =0 ，y =y
② A 与F 关于原点对称，即x +x =0 ，y +y =0
③ A 与I 关于x轴对称，即x -x =0，y +y =0
④ B 的横坐标为
⑤ B 与C 关于x轴对称 ，即x +x =0， y -y =0
⑥ B 与G 关于原点对称 ，即x +x =0，y +y =0
⑦ B 与H 关于x轴对称 ，即 x -x =0，y +y =0
⑧ C 的横坐标为-
⑨ C 与G 关于x轴对称 ，即 x -x =0，y -y =0
⑩ C 与H 关于原点对称 ，即x +x =0，y +y =0
⑾ D 与F 关于x轴对称，即 x -x =0，y +y =0
⑿ D 与I 关于原点对称 ，即x +x =0，y +y =0
⒀ E 位于x轴负半轴，即x =-a，y =0
⒁ E 与J 关于y轴对称，即x + x =0, y = y
⒂ F 与 I 关于y轴对称，即x + x =0 , y =y
⒃ G 的横坐标为 -
⒄ G 与H 关于x轴对称，即x + x = 0, y +y = 0
⒅ H 的横坐标为
⒆ J 位于x轴正半轴，即x = a ,y =0
第一种情况： A 与D 关于y轴对称，即x + x = 0 , y = y
这种情况在研究六边形时已经讨论过，所以就不再研究,当然也包含y = y 。
第二种情况：A 与F 关于原点对称 ，即 x + x =0 , y +y = 0
先看 x +x =0
∴ + = 0
∴ 4a -37a +105a -112a + 54a -12a + 1 = 0
∴ 上式=( a -3a +1)(4a -1)(a - 6a +5a -1) = 0 这是十边形、二等分圆周和十四边形总方程。
再看 y =y ，在这里其实质应该是研究x -x = 0
∴ - = 0
∴ 35a -105a +112a -54a +12a -1 =0这是五边形 和七边形总方程。前边已经讨论过，不再研究。
第三种情况：A 与I 关于x 轴对称，即 x - x = 0， y + y = 0
先看 x - x = 0
∴ - - = 0
∴ 80a -540a +1386a -1782a +1287a -546a +135a -18a +1= 0
∴(a -3a +1)(4a -1)(5a -5a +1)(2a -1)(2a -4a +1)= 0 这是十边形、二等分圆周、五边形、四边形 和八边形总方程。
再看y +y =0，在这里其实质应该是研究 x +x = 0
∴ +
+ = 0
∴4a -82a +540a -1386a +1782a -1287a +546a -135a +18a -1= 0
∴(2a -1)(a -12a +19a -8a +1)(2a -16a +20a -8a +1)= 0这是四边形、二十边形和十六边形总方程。
第四种情况：B 的横坐标为即x =
∴ =
∴ 2a -a -4a +1 =(2a-1)(a+1)(a -a- 1 )= 0 这是四边形 、六边形和十边形总方程 ，在这里a-a -1 =0是十边形方程a -3a+1 = 0 的子方程，并且可以知道以每个a为半径 所作的圆经过两次截取所获的点的横坐标都为 。
第五种情况：B 与C 关于x轴对称，即 x +x =0, y -y = 0
先看 x +x = 0
∴ + = 0
∴ 4a -13a +7a -1= 0
∴ (4a -1)(a -3a +1)= 0这是二等分圆周和十边形总方程。
再看y - y = 0，在这里其实质应该是研究 x - x = 0这是五边形的求解方程
第六种情况：B 与G 关于原点对称，即x + x = 0 ,y + y = 0
先看x +x = 0
+
= 0
∴ 4a -53a +197a -294a +210a -77a +14a -1 = 0
∴ (4a -1)(a -1)( a -3a +1 )(a -9a +6a -1)= 0，这是二等分圆周、六边形、十边形和十八边形总方程。
再看 y +y = 0, 在这里其实质应该是研究x -x = 0
∴ - = 0
∴ (3a -1)(5a - 5a +1)(3a -9a +6a -1)= 0 这是三角形、五边形和九边形总方程。
第七种情况： B 与H 关x轴对称，即x -x =0 ,y +y = 0
先看x -x = 0
∴ - - = 0
∴ 60a -335a +672a -660a +352a -104a +16a -1= 0
∴ (4a -1)(a -1)( 5a -5a +1)(3a -1)(a -3a +1)=0这是二等分圆周、六边形、五边形、三角形和十边形总方程。
再看 y +y =0, 在这里其实质应该是研究x +x = 0
∴ + + = 0
∴4a -68a +337a -672a +660a -352a +104a -16a + 1 =0
∴ 上式= (2a -1)(a -4a +1)(a -12a +19a -8a +1)= 0这是四边形、十二边形和二十边形总方程。
第八种情况：C 的横坐标为-
∴x = =-
∴ 2a +a -9a +6a -1 = 0
∴(2a-1)(a -a-1)(a +2a -a-1)= 0，第一个是二等分圆周的方程 ，是以点（ ，0）为起点的；第二个是十边形的方程，是以两个解为半径 ，以原点为圆心的圆经过三次截取点的横坐标都是- ；而第三个方程中有十四边形和十八边形的半径。
第九种情况：C 与G 关于x轴对称，即x -x =0；y -y = 0
先看x -x = 0
- = 0
∴ 40a -190a +293a -210a +77a -14a + 1 = 0
∴ 上式= ( 2a -1)(4a -1)(5a -5a +1)(a -3a +1) = 0 这是四边形、二等分圆周、五边形和十边形总方程。
再看 y -y =0, 在这里其实质应该是研究x +x =0
+ =0
∴4a -58a +202a -295a +210a -77a +14a -1= 0
（2a -1)( 2a -4a +1)(a -12a +19a -8a +1)= 0这是四边形、八边形和二十边形总方程。
第十种情况：C 与H 关于原点对称，即x +x =0，y +y = 0
先看x +x =0
+ +
∴ 4a -73a +342a -673a +660a -352a +104a -16a +1= 0
∴ ( 4a -1)(a -3a +1)(a -15a +35a -28a +9a -1) = 0
这是二等分圆周、十边形和二十二边形总方程。
再看y +y =0，在这里其实质应该是研究x -x = 0
- - =0
∴55a -330a +671a -660a +352a -104a +16a -1= 0
∴ (5a -5a +1)(11a -55a +77a -44a +11a -1)= 0这是五边形和十一边形总方程。
第十一种情况： D 与 F 关于x轴对称，即x -x =0，y +y = 0
先看x -x = 0
- = 0
∴ 20a -85a +104a -53a +12a - 1 = 0
∴ (4a -1)(5a -5a +1)(a -3a +1)= 0 , 这是二等分圆周、五边形和十边形总方程。
再看 y +y = 0，在这里其实质应该是研究 x + x =0
+
= 0
∴ 4a -52a +125a -120a +55a -12a +1=0
∴ (2a -1) (a -12a +19a -8a +1)=0这是四边形和二十边形总方程。
第十二种情况：D 与I 关于原点对称，即x +x =0，y +y = 0
先看x +x =0
∴ +
+ = 0
∴ 4a -97a +560a -1394a +1783a -1287a +546a -135a +18a -1= 0
∴(4a -1)(a -3a +1)(a -21a +70a -84a +45a -11a +1)= 0
这是二等分圆周、十边形和二十六边形总方程。
再看 y +y =0,在这里其实质应该是研究x -x = 0
∴ +
+ = 0
∴65a -520a +1378a -1781a +1287a -546a +135a -18a +1=0
∴(5a -5a +1)(13a -91a +182a -156a +65a -13a +1)=0 这是五边形和十三边形总方程。
第十三种情况：E 位于x轴负半轴，即x =-a，y =0
先看x =-a
∴ =- a
∴ 4a -25a +50a -35a +10a -1=0
上式=(4a -1)(a -3a +1)=0这是二等分圆周和十边形总方程。
再看y =0，在这里其实质应该是研究x =a
= a
∴ 25a -50a +35a -10a +1=0
∴ (5a -5a +1) =0这是五边形方程。
第十四种情况：E 与J 关于y轴对称，即x +x =0，y =y
先看x +x =0
∴ + + = 0
∴(4a -1)(a -1)(a -3a +1) ( a -24a +26a -9a +1 )= 0 这是二等分圆周、六边形、十边形和三十边形的总方程。
再看y = y ，在这里其实质应该是研究 x -x = 0
∴ - - = 0
∴ (5a -5a +1)(3a -1)(a -8a +14a -7a +1)= 0这是五边形、三角形和十五边形的总方程。
第十五种情况：F 与I 关于y轴对称，即x +x =0，y =y
先看x +x = 0
∴ +
+ = 0
∴(4a -1)(a -1)（a -3a +1)(a -24a +26a - 9a +1）=0，这是二等分圆周、六边形、十边形和三十边形方程。
再看y =y ，在这里其实质应该是研究x -x = 0
∴ -
- = 0
∴ 45a -435a +1274a -1728a +1275a -545a +135a -18a +1=0
∴(3a -1)(5a -5a +1)(a - 8a +14a -7a +1)= 0 这是三边形、五边形和十五边形的总方程。
第十六种情况： G 的横坐标为-
∴ x = =-
∴ 2a +a -49a +196a -294a +210a -77a +14a -1= 0
第十七种情况：G 与H 关于x轴对称，即x +x =0，y +y =0
先看x +x =0
∴ +
+ = 0
∴4a -113a +532a -966a +870a -429a +118a -17a +1= 0
∴(4a -1)(a -1)(a -3a +1)(a -24a +26a +9a -1)=0这是二等分圆周、六边形、十边形和三十边形方程。
再看y -y =0，在这里其实质应该是研究x -x =0
∴ -
- = 0
∴15a -140a +378a -450a +275a -90a +15a -1=0
(3a -1)(5a -5a +1)(a -8a +14a -7a +1)=0这是三边形、五边形和十五边形。
第十八种情况：H 的横坐标为
∴x = =
∴2a -a - 64a +135a -672a +660a -352a +104a-16a+1=0
（2a-1)(a+1)=0是上边的部分因式方程。
第十九种情况：J 位于x轴正半轴，即x =a, y =0
∴x =
+ = a
∴100a -825a +2640a -4290a + 4004a -2275a +800a -170a +20a -1= 0
∴(4a -1)(5a -5a+1) (a -3a +1)=0
通过对六边形和十边行的研究可以知道，当位于y轴正半轴的两侧的最上两点的横坐标相等时，求该多边形的方程最简单，但却有一个二等分圆周的关系式。
由此可以知道不能被4 整除的偶多边形的关系式可以列举如下：
边数 关系式(注：幂指数的一半与解的个数相同）
2 4a -1= 0
6 a -1= 0
10 a -3a + 1= 0
14 a -6a +5a -1= 0
18 a -9a +6a -1= 0
前边我们分析了部分多边形,从中可以看出有以下几个特点:
⑴ 如果某多边形为奇多边形，那么求该多边形方程的最简单的方法是靠近x轴负半轴的两个点的横坐标相等所建立的关系式
⑵如果某多边形为偶多边形，且边数能被4整除，则求该多边形方程的最简单的方法是位于y轴正半轴的点的横坐标为零，或以边数除以4所得的商为脚码的x为零
⑶如果关系式是数值，则表示以符合条件的解为半径，以单位长去截取的，经过脚码所表示的值的次数的截取后点的横坐标。
⑷当以多边形的边数为脚码的 x 的点位于x轴的正半轴时，即 x = a是求解该多边形的全部方程。
当然还可以推出无穷无尽的关系式，这些是求解与该方程有关的总方程，现列句部分关系式于此，仅供去研究和参考：
边数 关系式
2 4a2-1= 0
3 3a2-1= 0
4 2a2-1= 0
5 5a4-5a2 + 1 = 0
6 a2-1= 0
7 7a6-14a4+7a2-1= 0
8 2a4-4a2+1 = 0
9 3a6-9a4+6a2-1 = 0
10 a4-3a2+1 = 0
11 11a10-55a8+77a6-44a4+11a2-1 = 0
12 a4-4a2+1 = 0
13 13a12-91a10 +182a8-156a6+65a4-13a2+1 = 0
14 a6-6a4+5a2-1 = 0
15 a8-8a6+14a4-7a2+1 = 0
16 2a8-16a6+20a4-8a2+1= 0
17 17a16-204a14+714a12-1122a10+935a8-442a6+119a4-17a2+1= 0
18 a6-9a4+6a2-1 = 0
19 19a18-285a16+1254a14-2508a12 +2717a10 -1729a8 +665a6 -162a4 + 19a2-1 = 0
圆的等分（三）
韩永平
河北省石家庄市新乐市长寿中学 邮政编码：050700
E-mail：shjzhxlhyp@163.com
下面我们分析一下方程的解与多边形的关系:
如果按照上边第⑷点的规则 , 可以推导出许多关系式来 ,例如:
二等分的求解公式是：x =a
∴ 4a -1=0
三等分的求解公式是： x =a
∴ (3a -1) =0
为了研究上的方便清晰 ，我们将式子进行分解，化为因式方程（不知可不可以这么说），类似的会有
边数 方程
2 4a - 1= 0
3 ( 3a -1) = 0
4 （ 2a -1)( 4a -1) = 0
5 ( 5a -5a +1 ) = 0
6 ( 4a -1 ) ( 3a -1 )( a -1 )=0
7 ( 7a -14a +7a -1 ) =0
8 ( 4a -1 )( 2a -1 ) ( 2a - 4a +1 ) =0
9 ( 3a -1 ) ( 3a -9a +6a -1 ) =0
10 ( 4a -1 )( 5a -5a +1 ) ( a -3a +1 ) =0
11 ( 11a -55a +77a -44a +11a -1 ) =0
12 ( 4a -1 )( 3a -1 )( 2a -1 )( a -1 )( a -4a +1 )=0
13 ( 13a -91a +182a -156a +65a -13a +1 ) =0
14 ( 4a -1)( 7a -14a + 7a -1) ( a -6a +5a -1) =0
15 ( 3a -1 ) ( 5a -5a +1 ) ( a - 8a + 14a - 7a +1 ) =0
下面就以六边形和十五边形为例来研究方程的解与正多边形的圆心角的关系:
先看一下六边形的方程解，即 (4a - 1)(3a -1)(a - 1) = 0，所以方程的解应该是:±`±`±1，那么就会发现圆心角为180、120、60。
再看看十五边形有什么特点呢 ? ( 3a - 1)( 5a- 5a+1 ) ( a-8a+14a-7a+1 )=0这些方程经过分析有如下的现象: (见下表 )
通过分析可知，所以造成这样的原因是由于以起点为线段的端点，逐次连接多边形的顶点所造成的 ，在十五边形中， 以起点与第五个顶点的线段长为单位长 ，经过三次截取，又回到了起点 ，这样就构成了三角形； 同理以起点与第三个顶点的线段长为单位长截取，可构成五边形。 因此可以看出公式 : ( 3a - 1)( 5a - 5a + 1 ) ( a -8a+14a-7a +1 ) = 0是十五边形的总方程，但由于(a-8a+14a-7a +1)= 0可以很直观地表现出不同的十五边形，因此我们将a- 8a+14a-7a +1= 0叫做 十五边形方程，因此出现了内容提要的那些方程。并且还会发现其圆心角之间存在着自然倍数的关系，同时大家还会发现这样的一个问题，当以24的圆心角的边长去等分圆周，只需一周即可，而其他的可以转两周三周，甚至更多周，可以由公式来表示： 周数 = = 1 而如果某圆心角是最小圆心角的整数倍，即 n×最小圆心角，所以上式表示为 ： 周数= = ×n 也就是说某圆心角是最小角的几倍，就要转几圈可以回到起点。
当然，我们可以利用圆的这些特点来解方程。例如，在上边中我们用三角形中的 120和五边形中的72及144为等腰三角形的顶角，以单位长为底边所建立的三角形中, 其腰长(即a的值)是方程的解；也可以利用72、120、 144之间的角度差来求24、48 、 96、168的各种关系(其中包括a的值 )。
总之，本篇研究了圆的等分和正多边形的情形，可以有以下几个方面的收获 : ① 每个正多边形都有其相应的方程 。 ② 方程的解都是该正多边形的外接圆的半径 。 ③ 本文将方程、正多边形和三角函数有机的联系起来。 ④ 可以用正多边形周长除以 2倍的外接圆半径（即直径）来求π的值（这里的半径是指圆心角最小的那种）。 ⑤ 可以求出数值型角的各种三角函数的准确值，进而帮助解其他的高次方程。（完）
后记：
本文最终发表，首先感谢广大教师的支持和帮助，但由于本人的精力和水平有限，还有许多问题需大家共同研究 。
本文中的半径a，能否与数轴上所有的点对应起来。
虽然以大于或等于为半径作圆，同单位长为半径所作的圆相交来研究有此结果 。 但如果以单位长为半径，以原点为圆心做圆，同以任意长为半径做的圆相交，这样过许能找到高斯的17 边形的求解方程。
如果以为半径，以原点为圆心作圆，同以轴上的点（ a，0) 任意长为半径的圆相交所建立的方程的解应该是等于或小于
起始方程为
参考文献：
ISBN 7-5007-3570-7/G•2362 张景中 任宏硕 著 ：《走近科学皇后 ─数学趣谈》， 廊坊人民印刷厂印刷 ， 中国少年儿童出版社， 1998 年1月。
联系地址： 河北省石家庄市新乐市长寿中学 韩永平
邮政编码：050700
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发表于 2006-7-30 17:08
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