[求助]有赏求解圆锥体的高度与体积的关系

kelind

如图,是工业上常用的一种圆锥体封头,已知圆锥体的底面直径和高,要求 h 与容积v  的关系.即液位不断变化时,圆锥封头盛液容积的变化.
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sjj

是求只含H高的下部分的体积V吗，这个不会很难吧

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2006/08/17 07:59pm 第 3 次编辑] 用计算机编程解答可以吗？因为积分结果不一定有解析表达式。 kelind 网友，您的题目并不复杂，我已导出了计算公式，只是不知道积分结果能否表达成解析式，如果不能，可以编程对任何给定的 d 和 h，求出高精度数值解。您不必悬赏100元，我不会要您一分钱。请您赶快修改您的原贴，去掉赏金。因为这个问题大学一年级水平应能解出。 这个问题已解出，但不是解析解。液面与圆锥面的交线是双曲线，该曲线有简单的解析表达式，液面的面积也可求出，求体积还需再积一次分，本人未能积出来（不一定有解析式），因此编写了一个计算机程序，对于给定的参数，可代入程序计算，得到数值解，相对误差在亿分之一数量级。为验证程序的正确性，假定圆锥底半径 R 和液面高度 H 都是75，圆锥高L=100，此时液体体积等于圆锥体积的一半，可准确算出，为 294524.3113，而程序计算结果为 294524.3，两者相差极小，这说明程序是可信的。该程序用 VB 编写，简单且有通用性，现用 word 文档发表如下。 今有一个底面半径为R、高为L的空心正圆锥体，将圆锥轴线平放，里面注入液体，液面高度为H时，求液体的体积。计算公式为： （公式没能显示出来，打开下面的文件可以看到） 上面第一个重积分里的C是h的函数: （公式没能显示出来，打开下面的文件可以看到） 公式中h是作为变量的液面高度，V（H）是h=H时的液体体积。 积分结果未能表达为解析式，因此编程进行计算。 当液面高度H≤R时可按下述VB程序进行数值计算（计算误差极小，相对误差约为10-8数量级）。当H＞R时，要先计算2R-H的体积，再从整个圆锥的体积（圆锥底面积乘高的三分之一）中减去该体积。 在下面的程序中，设R=75，L=100，H=45，计算结果为V=98689。 Private Sub Form_Click() '; 文件名: djf '; 空心圆锥水平放置,里面注水,水面距轴线R-BBB ，计算水的体积 AAA = 0: ';积分下限 BBB = 45: ';积分上限 EEE = 0.1: ';精度要求 HE = 1: ';积分步长 R = 75: L = 100: ';圆锥底面半径为R,高为L GoSub STRT sub1: ‘以下为被积函数： A = Sqr(X * (2 * R - X)): B = (R - X) / (R + A) F = L * A + L / R * (R - X) * (R - X) * Log(B) If B = 0 Then F = L * R: GoTo AA0 AA0: Return End STRT: ‘以下为抛物线法求积的通用程序 K = 2: V0 = 0: HHH = (BBB - AAA) / K X = AAA: GoSub sub1: YA = F X = BBB: GoSub sub1: YB = F X = AAA + HHH: GoSub sub1: YI = F PPP = YA + YB: DDD = YI AA1: V = (PPP + 4 * DDD) * HHH / 3 If Abs(V - V0) <= EEE And HHH <= HE Then GoTo AA2 HHH = HHH / 2: K = 2 * K: V0 = V PPP = PPP + 2 * DDD DDD = 0: For I = 1 To K - 1 Step 2 X = AAA + I * HHH: GoSub sub1: YI = F DDD = DDD + YI: Next GoTo AA1 AA2: Print V ：‘打印结果 End Sub 程序上面的公式显示不出来，请点击上传的 word 附件。 这个问题有没有解析表达式，还需要进一步研究。既然液体表面积有精确表达式，如果液体形状能看成是“拟柱体”，则液体体积 V（H）=H/6*（S（H）+4*S（H/2）），但是这个式子对不对呢？

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶