积分题目，面试碰到的，做不出来就不能上班！！

paocai

[这个贴子最后由yuxin在 2006/10/16 11:00pm 第 1 次编辑]


中间是个圆柱，两边为球冠，圆柱直径为2R0，球冠高为L0，圆柱高L1，物体平放，装液体，两个球冠一样中间那条表示液面，求液体深度为H时，左边球冠内液体体积。（结果不能有积分符号）！！唉
找了十五个本科生，六个不同学校的研究生，朋友的朋友又托朋友，在几个QQ数学群上发了求助............
竟是无人做得出来！！！
是太难了吗？好象不是..........
谁能帮我

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/08/05 09:17am 第 1 次编辑]

此题有用的数值为，R0，L0，H。圆柱的高L1与此题无关。
令r=R0,h=H,k=L0。
拟柱体的体积公式，对二次曲面围成的封闭立体图形的体积计算是准确值。
设弓形高为h，半径为r的弓形面积为底面积S。
设此弓形的弧所对圆心角为2θ(单位为弧度)，
则θ=arc cos[(r-h)/r]，
从而其扇形面积为：2r*arc cos[(r-h)/r]。
因此　S=2r*arc cos[(r-h)/r]-(1/2)(r-h)(2rh-h^2)^(1/2)。
求中截面的面积就比较困难了。
设球冠的半径为R，则r^2=(2R-k)k，从而R=r^2/(2k)+k/2。
设球冠内水面的弓形高为m，球冠所在球的球心到球冠底面的距离为n，
则n=(R^2-r^2)^(1/2)，那么有：
(r-h)^2+(m+n)^2=R^2。
从而可求得m的值。
设中截面的弓形高为e，则
(e+r-h)^2+(n+m/2)^2=R^2，其中e+r-h为为截面弓形所在圆的半径。
那么这个弓形的面积即中截面的面积s可求。
从而球冠内液体体积为：
V=(e/6)(4s+S)　(上底面面积为零，e,s,S皆可用r,h,k表示出来，即R0,L0,H表示出来)
此题是我昨天下午看到，用40多分钟作完，因网络忙，而没发上去。
今天，作完需作的工作后，才发上来。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/08/05 04:39pm 第 1 次编辑]

对不起，把扇形面积公式及三角形面积公式都用错了。应当是
S=(1/2)r^2*arc cos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h^2)^(1/2)。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/08/05 04:47pm 第 1 次编辑]

如果是用定积分计算，涉及求下面关于x的函数的原函数，
0.5*(R^2-(n+x)^2)*arc cos((r-h)/(R^2-(n-x)^2)^(1/2))-(r-h)(R^2-(n+x)^2)^(1/2)
这个原函数，我还真不会求。

paocai

可是，zhaolu48 老师，学生实在愚鲁，昨天看了一整天还是云里雾里！！！！
你能不能把结果换成题目告诉的符号，我好带进一些特殊数据验证一下？
~-`[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 paocai 在 时添加 -=-=-=-=-
我等候你。
我望着户外的昏黄
如同望着将来，
我的心震盲了我的听。
你怎还不来? 希望
在每一秒钟上允许开花。
我守候着你的步履，
你的笑语，你的脸，
你的柔软的发丝，
守候着你的一切；
希望在每一秒钟上
枯死──你在哪里?
..............................
喔，我迫切的想望
你的来临，想望
那一朵神奇的优昙
开上时间的顶尖!
你为什么不来，忍心的!
你明知道，我知道你知道，
你这不来于我是致命的一击

zhaolu48

　　过程仍有误，昨天看到了你的回帖，因忙，没来得及回及进行详细推证，现在正在作详细推证，需下午或明天把结果发上来。

paocai

谢谢楼主

paocai

一个朋友作的图，比较直观，给传上来，希望能给解答者予帮助

zhaolu48

zhaolu48