N* ∏(1-1/p)的计算结果与误差

柳林

公式   N* ∏(1-1/p)是一个计算自然数N以下素数个数的很科学的一个公式。

    可是，在欧拉时代，由于计算技术的落后，人们没有找到自然数N与素数密度

∏(1-1p)之间互相协调的规律，错误地把素数的平方与素数密度联系在一起。造成

越来越大的计算误差。数学界不得已放弃了这个科学公式。

     其实，N* ∏(1-1/p)这个科学公式不仅可以保证计算自然数N以下素数个数时，

不出现误差项大于主项的情形。而且还可以做到以下几点：



（1）计算N以下的素数个数时，有时小于实际值是下界，有时大于实际值是上界。

其实，下界值比上界值有用得多。证明素数有无穷多必须用下界值公式。

（2）尽可能的减少误差；把误差率尽快降低到3%左右，甚至1%左右。

下面，我们把计算结果列出：

序数        素数        上界密度        区间        近似值        实际值        素数        误差率
1        3        33.3333333         15        5.00          6        13        -16.6667
2        5        26.6666667         60        16.00         17        59        -5.8824
3        7        22.8571429         135        30.86         32        131        -3.5714
4        11        20.7792208         240        49.87         52        239        -4.0959
5        13        19.1808192         375        71.93         74        373        -2.7999
6        17        18.0525357         540        97.48         99        523        -1.5316
7        19        17.1024022         735        125.70         130        733        -3.3056
8        23        16.3588195         960        157.04         162        953        -3.0588
9        29        15.7947223         1215        191.91         198        1213        -3.0778
10        31        15.2852151         1500        229.28         239        1499        -4.0677
11        37        14.8721012         1815        269.93         280        1811        -3.5969
12        41        14.5093670         2160        313.40         325        2153        -3.5685
13        43        14.1719399         2535        359.26         370        2531        -2.9031
14        47        13.8704093         2940        407.79         424        2939        -3.8231
15        53        13.6087034         3375        459.29         476        3373        -3.5097
16        59        13.3780474         3840        513.72         532        3833        -3.4367
17        61        13.1587352         4335        570.43         591        4327        -3.4803
18        67        12.9623362         4860        629.97         650        4831        -3.0816
19        71        12.7797680         5415        692.02         714        5413        -3.0778
20        73        12.6047027         6000        756.28         783        5987        -3.4122
21        79        12.4451495         6615        823.25         854        6607        -3.6011
22        83        12.2952080         7260        892.63         928        7253        -3.8112
23        89        12.1570596         7935        964.66         1002        7933        -3.7263
24        97        12.0317290         8640        1039.54         1075        8629        -3.2985
25        101        11.9126030         9375        1116.81         1159        9371        -3.6405

柳林

26        103        11.7969467         10140        1196.21         1244        10139        -3.8416
27        107        11.6866948         10935        1277.94         1327        10909        -3.6971
28        109        11.5794775         11760        1361.75         1409        11743        -3.3537
29        113        11.4770042         12615        1447.82         1507        12613        -3.9267
30        127        11.3866341         13500        1537.20         1600        13499        -3.9253
31        131        11.2997132         14415        1628.85         1689        14411        -3.5611
32        137        11.2172336         15360        1722.97         1794        15359        -3.9595
33        139        11.1365340         16335        1819.15         1894        16333        -3.9518
34        149        11.0617922         17340        1918.11         1993        17333        -3.7574
35        151        10.9885353         18375        2019.14         2105        18371        -4.0787
36        157        10.9185446         19440        2122.57         2203        19433        -3.6512
37        163        10.8515597         20535        2228.37         2317        20533        -3.8253
38        167        10.7865803         21660        2336.37         2431        21649        -3.8925
39        173        10.7242301         22815        2446.73         2549        22811        -4.0120
40        179        10.6643182         24000        2559.44         2668        23993        -4.0691
41        181        10.6053993         25215        2674.15         2781        25189        -3.8421
42        191        10.5498737         26460        2791.50         2907        26459        -3.9733
43        193        10.4952111         27735        2910.85         3023        27733        -3.7100
44        197        10.4419359         29040        3032.34         3159        29033        -4.0096
45        199        10.3894639         30375        3155.80         3282        30367        -3.8452
46        211        10.3402247         31740        3281.99         3413        31729        -3.8386
47        223        10.2938560         33135        3410.87         3551        33119        -3.9462
48        227        10.2485086         34560        3541.88         3692        34549        -4.0660
49        229        10.2037553         36015        3674.88         3827        36013        -3.9749
50        233        10.1599624         37500        3809.99         3968        37493        -3.9822
51        239        10.1174521         39015        3947.32         4107        38993        -3.8879
52        241        10.0754709         40560        4086.61         4252        40559        -3.8897
53        251        10.0353296         42135        4228.39         4404        42131        -3.9876

柳林

54        257        9.9962817         43740        4372.37         4555        43721        -4.0094
55        263        9.9582730         45375        4518.57         4707        45361        -4.0033
56        269        9.9212534         47040        4666.96         4852        47017        -3.8137
57        271        9.8846436         48735        4817.28         5010        48733        -3.8467
58        277        9.8489589         50460        4969.78         5177        50459        -4.0026
59        281        9.8139093         52215        5124.33         5338        52201        -4.0028
60        283        9.7792311         54000        5280.78         5500        53993        -3.9857
61        293        9.7458549         55815        5439.65         5663        55813        -3.9440
62        307        9.7141095         57660        5601.16         5840        57653        -4.0898
63        311        9.6828744         59535        5764.70         6018        59513        -4.2091
64        313        9.6519387         61440        5930.15         6179        61417        -4.0273
65        317        9.6214909         63375        6097.62         6350        63367        -3.9745
66        331        9.5924230         65340        6267.69         6526        65327        -3.9582
67        337        9.5639588         67335        6439.89         6706        67307        -3.9682
68        347        9.5363970         69360        6614.44         6884        69341        -3.9157
69        349        9.5090721         71415        6790.90         7073        71413        -3.9884
70        353        9.4821342         73500        6969.37         7257        73483        -3.9635
71        359        9.4557216         75615        7149.94         7448        75611        -4.0018
72        367        9.4299566         77760        7332.73         7643        77747        -4.0595
73        373        9.4046753         79935        7517.63         7829        79907        -3.9772
74        379        9.3798608         82140        7704.62         8030        82139        -4.0521
75        383        9.3553703         84375        7893.59         8222        84349        -3.9942
76        389        9.3313205         86640        8084.66         8423        86629        -4.0169
77        397        9.3078159         88935        8277.91         8614        88919        -3.9017
78        401        9.2846044         91260        8473.13         8826        91253        -3.9981
79        409        9.2619037         93615        8670.53         9040        93607        -4.0870
80        419        9.2397989         96000        8870.21         9252        95989        -4.1266
81        421        9.2178516         98415        9071.75         9450        98411        -4.0027
82        431        9.1964645         100860        9275.55         9663        100853        -4.0096
83        433        9.1752256         103335        9481.22         9877        103333        -4.0071

柳林

54        257        9.9962817         43740        4372.37         4555        43721        -4.0094
55        263        9.9582730         45375        4518.57         4707        45361        -4.0033
56        269        9.9212534         47040        4666.96         4852        47017        -3.8137
57        271        9.8846436         48735        4817.28         5010        48733        -3.8467
58        277        9.8489589         50460        4969.78         5177        50459        -4.0026
59        281        9.8139093         52215        5124.33         5338        52201        -4.0028
60        283        9.7792311         54000        5280.78         5500        53993        -3.9857
61        293        9.7458549         55815        5439.65         5663        55813        -3.9440
62        307        9.7141095         57660        5601.16         5840        57653        -4.0898
63        311        9.6828744         59535        5764.70         6018        59513        -4.2091
64        313        9.6519387         61440        5930.15         6179        61417        -4.0273
65        317        9.6214909         63375        6097.62         6350        63367        -3.9745
66        331        9.5924230         65340        6267.69         6526        65327        -3.9582
67        337        9.5639588         67335        6439.89         6706        67307        -3.9682
68        347        9.5363970         69360        6614.44         6884        69341        -3.9157
69        349        9.5090721         71415        6790.90         7073        71413        -3.9884
70        353        9.4821342         73500        6969.37         7257        73483        -3.9635
71        359        9.4557216         75615        7149.94         7448        75611        -4.0018
72        367        9.4299566         77760        7332.73         7643        77747        -4.0595
73        373        9.4046753         79935        7517.63         7829        79907        -3.9772
74        379        9.3798608         82140        7704.62         8030        82139        -4.0521
75        383        9.3553703         84375        7893.59         8222        84349        -3.9942
76        389        9.3313205         86640        8084.66         8423        86629        -4.0169
77        397        9.3078159         88935        8277.91         8614        88919        -3.9017
78        401        9.2846044         91260        8473.13         8826        91253        -3.9981
79        409        9.2619037         93615        8670.53         9040        93607        -4.0870
80        419        9.2397989         96000        8870.21         9252        95989        -4.1266
81        421        9.2178516         98415        9071.75         9450        98411        -4.0027
82        431        9.1964645         100860        9275.55         9663        100853        -4.0096
83        433        9.1752256         103335        9481.22         9877        103333        -4.0071

柳林

84        439        9.1543253         105840        9688.94         10092        105829        -3.9939
85        443        9.1336609         108375        9898.60         10308        108359        -3.9716
86        449        9.1133187         110940        10110.32         10531        110939        -3.9947
87        457        9.0933770         113535        10324.17         10752        113513        -3.9791
88        461        9.0736517         116160        10539.95         10976        116159        -3.9727
89        463        9.0540542         118815        10757.57         11199        118801        -3.9417
90        467        9.0346665         121500        10977.12         11434        121493        -3.9958
91        479        9.0158050         124215        11198.98         11668        124213        -4.0197
92        487        8.9972920         126960        11422.96         11898        126949        -3.9926
93        491        8.9789676         129735        11648.86         12140        129733        -4.0456
94        499        8.9609737         132540        11876.87         12372        132533        -4.0020
95        503        8.9431586         135375        12106.80         12609        135367        -3.9829
96        509        8.9255886         138240        12338.73         12861        138239        -4.0609
97        521        8.9084569         141135        12572.95         13107        141131        -4.0745
98        523        8.8914235         144060        12808.98         13346        144037        -4.0238
99        541        8.8749884         147015        13047.56         13592        147011        -4.0056
100        547        8.8587635         150000        13288.15         13848        149993        -4.0429
101        557        8.8428591         153015        13530.90         14112        153001        -4.1178
102        563        8.8271524         156060        13775.65         14362        156059        -4.0826
103        569        8.8116390         159135        14022.40         14607        159119        -4.0022
104        571        8.7962070         162240        14270.97         14865        162229        -3.9962
105        577        8.7809623         165375        14521.52         15121        165367        -3.9646
106        587        8.7660033         168540        14774.22         15378        168533        -3.9262
107        593        8.7512208         171735        15028.91         15645        171733        -3.9379
108        599        8.7366111         174960        15285.57         15914        174959        -3.9489
109        601        8.7220743         178215        15544.04         16176        178207        -3.9067
110        607        8.7077051         181500        15804.48         16450        181499        -3.9241
111        613        8.6935001         184815        16066.89         16728        184777        -3.9521
112        617        8.6794101         188160        16331.18         17011        188159        -3.9964
113        619        8.6653885         191535        16597.25         17289        191533        -4.0011
114        631        8.6516557         194940        16865.54         17569        194933        -4.0040
115        641        8.6381586         198375        17135.95         17851        198349        -4.0057
116        643        8.6247244         201840        17408.14         18133        201833        -3.9974
117        647        8.6113941         205335        17682.21         18409        205327        -3.9480
118        653        8.5982066         208860        17958.21         18707        208843        -4.0027
119        659        8.5851593         212415        18236.17         19002        212411        -4.0303
120        661        8.5721711         216000        18515.89         19287        215983        -3.9981
121        673        8.5594339         219615        18797.80         19577        219613        -3.9802
122        677        8.5467907         223260        19081.56         19881        223259        -4.0211
123        683        8.5342771         226935        19367.26         20177        226913        -4.0132
124        691        8.5219265         230640        19654.97         20491        230611        -4.0800
125        701        8.5097697         234375        19944.77         20780        234361        -4.0194
126        709        8.4977672         238140        20236.58         21067        238109        -3.9418
127        719        8.4859483         241935        20530.48         21385        241931        -3.9959
128        727        8.4742758         245760        20826.38         21695        245759        -4.0038
129        733        8.4627147         249615        21124.21         22015        249607        -4.0463
130        739        8.4512631         253500        21423.95         22314        253493        -3.9887
131        743        8.4398886         257415        21725.54         22631        257407        -4.0010
132        751        8.4286504         261360        22029.12         22940        261353        -3.9707
133        757        8.4175161         265335        22334.62         23257        265333        -3.9660
134        761        8.4064550         269340        22641.95         23592        269333        -4.0270
135        769        8.3955233         273375        22951.26         23918        273367        -4.0419
136        773        8.3846623         277440        23262.41         24237        277429        -4.0211
137        787        8.3740084         281535        23575.76         24557        281531        -3.9957
138        797        8.3635015         285660        23891.18         24894        285643        -4.0284
139        809        8.3531634         289815        24208.72         25208        289789        -3.9641
140        811        8.3428636         294000        24528.02         25531        293999        -3.9285

lusishun

柳林 发表于 2018-2-6 05:36
84        439        9.1543253         105840        9688.94         10092        105829        -3.9939
85        443        9.1336609         108375        9898.60         10308        108 ...

》》》》数学界不得已放弃了这个科学公式。
不是放弃，是还没认识到这个层次，
您应该了解下倍数含量的概念，才能认识公式精确的原因。

lusishun

》》》》》公式   N* ∏(1-1/p)是一个计算自然数N以下素数个数的很科学的一个公式。

    可是，在欧拉时代，由于计算技术的落后，人们没有找到自然数N与素数密度

∏(1-1p)之间互相协调的规律

您的认识有了很大的提高，认识到    ∏(1-1p)之间互相协调的规律，
您可进步思考，∏(1-1p)之间为什么，互相协调啊，这是有意思的。倍数含量重叠而产生互相协调的功能
这是我给出倍数含量的概念的原因。由此发现倍数含量重叠，

愚工688

正确认识素数计算式 x* ∏(1-1/p) 的计算值精确度。
如果数x 的跨度太小，容易得出片面的结论。

Sp(x)=x* ∏(1-1/p)—概率计算的值；p是√x 内的最大素数；
Δ—概率计算Sp(x)的相对误差。

in [2, 1000 ]:     π(X)= 168       Sp(x)= 159.11   Δ=-.053   
in [2, 2000 ]:     π(X)= 303       Sp(x)= 291.34    Δ=-.038   
in [2, 3000 ]:     π(X)= 430       Sp(x)= 417.05    Δ=-.03      
in [2, 4000 ]:     π(X)= 550       Sp(x)= 536.32    Δ=-.025     
in [2, 5000 ]:     π(X)= 669       Sp(x)= 658.43    Δ=-.016   
in [2, 6000 ]:     π(X)= 783       Sp(x)= 768.08    Δ=-.019   
in [2, 7000 ]:     π(X)= 900       Sp(x)= 873.46    Δ=-.029     
in [2, 8000 ]:     π(X)= 1007      Sp(x)= 985.74    Δ=-.021   
in [2, 9000 ]:     π(X)= 1117      Sp(x)= 1107.32   Δ=-.009   
在x值比较小时，相对误差主要呈现负值的现象；

in [2, 10000 ]:    π(X)= 1229      Sp(x)= 1216.5    Δ=-.01      
in [2, 20000 ]:    π(X)= 2262      Sp(x)= 2245.83   Δ=-.007      
in [2, 30000 ]:    π(X)= 3245      Sp(x)= 3238.72   Δ=-.002     
in [2, 40000 ]:    π(X)= 4203      Sp(x)= 4181.11   Δ=-.005   
in [2, 50000 ]:    π(X)= 5133      Sp(x)= 5171.97   Δ= .008     
in [2, 60000 ]:    π(X)= 6057      Sp(x)= 6074      Δ= .003   
in [2, 70000 ]:    π(X)= 6935      Sp(x)= 7000.6    Δ= .009     
in [2, 80000 ]:    π(X)= 7837      Sp(x)= 7883.55   Δ= .006     
in [2, 90000 ]:    π(X)= 8713      Sp(x)= 8804.71   Δ= .011     
在x值到5万附近时，相对误差由负值逐渐转正值；

in [2, 100000 ]:   π(X)= 9592      Sp(x)= 9686.73   Δ= .01      
in [2, 200000 ]:   π(X)= 17984     Sp(x)= 18312.86  Δ= .018   
in [2, 300000 ]:   π(X)= 25997     Sp(x)= 26628.83  Δ= .024     
in [2, 400000 ]:   π(X)= 33860     Sp(x)= 34667.03  Δ= .024   
in [2, 500000 ]:   π(X)= 41538     Sp(x)= 42615.18  Δ= .026   
in [2, 600000 ]:   π(X)= 49098     Sp(x)= 50380.15  Δ= .026     
in [2, 700000 ]:   π(X)= 56543     Sp(x)= 58193.57  Δ= .029   
in [2, 800000 ]:   π(X)= 63951     Sp(x)= 65814.13  Δ= .029   
in [2, 900000 ]:   π(X)= 71274     Sp(x)= 73476.84  Δ= .031   
10万以上，x值逐渐增大，相对误差值也逐渐增加；

in [2, 1000000 ]:  π(X)= 78498     Sp(x)= 81052.53  Δ= .033   
in [2, 2000000 ]:  π(X)= 148933    Sp(x)= 154670.5  Δ= .039   
in [2, 3000000 ]:  π(X)= 216816    Sp(x)= 225223    Δ= .039   
in [2, 4000000 ]:  π(X)= 283146    Sp(x)= 294842    Δ= .041     
in [2, 5000000 ]:  π(X)= 348513    Sp(x)= 363658.8  Δ= .043   
in [2, 6000000 ]:  π(X)= 412849    Sp(x)= 430445.9  Δ= .043   
in [2, 7000000 ]:  π(X)= 476648    Sp(x)= 498431.1  Δ= .046   
in [2, 8000000 ]:  π(X)= 539777    Sp(x)= 563802.4  Δ= .045   
in [2, 9000000 ]:  π(X)= 602489    Sp(x)= 629911.8  Δ= .046   
in [2, 10000000]:  π(X)= 664579    Sp(x)= 696241.3  Δ= .048     
100万以上，x值逐渐增大，相对误差值继续逐渐增加，但是增幅率减慢。

在x= 10^16时：
由素数发生率π[(p-1)/p]计算10^16 以内的素数数量的相对误差示例：

p( 5761455 )= 100000001  , π( 5761455 )= 3.047972161058888D-02
显然√(10^16)内的最大素数是p(5761454)=99999989；
π( 5761454 )= 0.03047972191538613;——宿舍发生率概率连乘式值；
π(10^16)=279238341033925;
Sp(10^16)=10^16×π( 5761454 )≈304797219153861;
Δ≈0.09153069;

更大x值时素数连乘计算式的相对误差还会进一步的增大，曾经看到过一个帖子，说连乘式的计算值的相对误差率的极限在18% 左右，哪个网友的帖子忘记了。但是相对误差增大的现象在我能够计算的范围内是客观存在的，我也计算不了太大的数x 。

因此连乘式计算素数数量是存在一定的相对误差的，并且随着数x 的增大，相对误差值有缓慢增大的趋势，并非是趋向于小值的。

lusishun

》》》》人们没
∏(1-1/p)之间互相协调的规律
您的这点认识是进步的起点，可喜可贺。
但仍有网友固守“概率”的概念，阻止了自己认识的提升，可悲可叹。，，
   

贺∏(1-1/p)，∏(1-2/p)学派的逐渐形成。

llz2008

愚工688 发表于 2018-2-13 00:19
正确认识素数计算式 x* ∏(1-1/p) 的计算值精确度。
如果数x 的跨度太小，容易得出片面的结论。

        如果设相对误差为函数w(x),那么这个函数的取值范围是【0，0.1094637910062），即w(x)趋于（1-e^r/2)约等于0.1094637910062. e是自然对数的底数，r是欧拉常数。