运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷

志明

    在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差率都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差，这一奇妙的现象，似乎是难解之迷。

     大家都知道，“连乘积公式”是以“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布是绝对均衡的。”这一设定的条件推导得出的。

     而实际情况是，任何一个偶数A，都不可能是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上小于√A的素数的乘积倍数。因此，在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布不是绝对的均衡，只是相对的均衡。由此可知：

     其一、“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数的分布不是绝对的均衡。”这一实际情况，与公式形成过程中所设定的条件不是完全相符。由此确定了“连乘积公式”不是精确表达式，计算结果会出现误差，这是“连乘积公式”误差的根源。

    其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

     这种相对的均衡性，是“连乘积公式”的基础条件，如果没有相对的均衡性这一基础条件，就没有“连乘积公式”。

    唯一能够体现“连乘积公式”的价值与意义的地方，就是“‘连乘积公式’的计算结果是相对合理的近似值”，这是“连乘积公式”的精髓，如果“连乘积公式”的计算结果不是相对合理的近似值，“连乘积公式”就没有任何价值和意义。

     已知在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差率都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差。这说明“连乘积公式”自身对误差具有调控功能。如果对误差产生的过程进行分析，利用“连乘积公式”的基础条件，找出“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，这可以进一步强化“连乘积公式”的合理性与适用性，这对于只需要证明存在一对素数对的哥猜完全是绰绰有余。

     运用“区域分析法”，可以发现和找出“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能的所在之处，从而进一步强化“连乘积公式”的合理性。

志明

       通过分析一个简单的实例，阐明“区域分析法”的分析思路与分析方法。

      因为求“素数数量”的“连乘积公式”，与求“素数对数量”的“连乘积公式”的形成原理是相同的，因此，对它们误差的分析思路与分析方法基本也大致相同。为了在介绍“区域分析法”的分析思路与分析方法的过程中，尽可能地详细清晰。因此，用求“素数数量”的“连乘积公式”，对32这个较小的数进行逐次筛除，分析在筛除过程中的误差是如何产生的？找出公式自身对误差具有的调控功能是怎样形成与表现的？
       当A=32时，
     第一筛：分别筛去5、10、15、20、25、30这6个5的倍数，在分析过程中，把从1至32/5这个区域叫作32/5分析区。可知：在筛除小于√32的最大素数5的倍数时，也就是筛除32/5分析区(从1至32/5这个区域)范围内，1、2、3、4、5、6这6个整数分别与5的乘积，即：筛除1×5=5、2×5=10、3×5=15、4×5=20、5×25、6×5=30这6个数。

       按公式原理计算，第一筛应筛除的数量是32×1/5=32/5，而实际筛除了6个数，少筛了2/5个数，这个2/5的误差，是32/5分析区范围内(从1至32/5这个区域）的有效数的数值（整数数量）6，与公式计算值32/5之间的误差（32/5－6=2/5）。有效值小于计算值时是负差，有效值大于计算值时是正差，因此，2/5是负差。

       按公式计算，第一筛后，在从1至32的范围内，应留下32×(1－1/5）=128/5个数。而筛除后在从1至32的范围内留下的有效数的数值（整数数量）是26，比公式计算值128/5多2/5，（26－128/5=2/5）。可知：2/5是从1至32范围内第一筛后的误差。

       可知：第一次筛除产生的误差是正差2/5，筛除后的累计误差也是正差2/5。

       通过分析可知：当分析区范围内的有效数值小于公式计算值时，也就是出现负差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等的正差。

      同理，当分析区范围内的有效数值大于公式计算值时，也就是出现正差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等的负差。

      由此可得出

      定律①：当分析区范围内的有效数值与公式计算值存在误差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等，方向相反的误差。

      因为这是第一筛，因此，筛除之前在从1至A（32）的整体范围内，没有“有效数值”与“公式计算值”之间的误差现象（也就是0误差）。

      如果在筛除之前，在从1至A的整体范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有误差，也就在筛除之前有误差(第一筛之后基本都会有误差)，为了便于区别与表述，把从1至A的整体范围内的误差叫作总误差。

      根据定律①可推导得出：

        定律②：当分析区内的“有效数值”与“公式计算值”之间的误差，与筛除之前的总误差同方向时，此次筛除必定会产生与筛除之前的总误差方向相反的误差，此次筛除产生的误差对总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。

       定律③：当分析区内的“有效数值”与“公式计算值”之间的误差，与筛除之前的总误差反方向时，此次筛除必定会产生与筛除之前的总误差方向相同的误差，此次筛除产生的误差，对总误差会起到增加作用，因此，总误差值会增加。

志明

       第二筛：分别筛去3、6、9、12、18、21、24、27这8个3的倍数，在分析过程中，把从1至32/3这个区域叫作32/3分析区。可知：在筛除素数3的倍数时，也就是在32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域），筛除掉1、2、3、4、6、7、8、9这8个整数分别与3的乘积（注意：在32/3分析区范围内，5和10这2个整数在第一筛中被筛除，因此，留下的有效数（整数）的数量是8），即：筛除1×3=3、2×3=6、3×3=9、4×3=12、6×3=18、7×3=21、8×3=24、9×3=27这8个数，

      按公式原理计算，第二筛应筛除的数量是:  32×(1－1/5)×1/3=32×4/5×1/3=128/15

        而实际筛除了8个数，少筛了8/15个数(128/15－8=8/15），也就是有效数的数量是8，比公式计算值128/15小8/15，也就是32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域）出现负差(－8/15），根据定律①可知：本次筛除必定会产生与负差(－8/15)绝对值相等，方向相反的正差8/15。即：第二次筛除产生的误差是正差8/15。

        按公式计算，第二筛后，应留下
        32×(1－1/5)×(1－1/3)=32×4/5×2/3=256/15个数，

       而实际筛除后留下的是18个数(32－6－8=18)，有效数的数量是18，比公式计算值256/15大14/15，(18－256/15=14/15)，第二筛后的累计误差是正差14/15。

      已知：第一次和第二次筛除中所产生的误差分别是正差2/5和正差8/15，两次筛除的累计误差是正差2/5+8/15=14/15。与(18－256/15=14/15)相符。
因为在32/3分析区范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有负差(－8/15），并知：与筛除前的总误差（正差2/5）反方向，根据定律③可知：此次筛除产生的误差(正差8/15)，对总误差会起到增加作用，因此，总误差由筛除之前的正差2/5，增加到了正差14/15。（2/5+8/15=14/15）

志明

       第三筛：分别筛去2、4、8、14、16、22、26、28、32这9个2的倍数。在分析过程中，把从1至32/2这个区域叫作32/2分析区。可知：在筛除素数2的倍数时，也就是在32/2分析区范围内，筛除掉1、2、4、7、8、11、13、14、16这9个整数分别与2的乘积（注意：在32/2分析区范围内，3、5、6、9、10、12、15这7个整数在第一、第二筛中被筛除，因此，只留下9个整数），即：筛除1×2=2、2×2=4、4×2=8、7×2=14、8×2=16、11×2=22、13×2=26、14×2=28、16×2=32这9个数。

      按公式原理计算，第三筛应筛除
      32×(1－1/5)×(1－1/3)×(1－1/2)=32×4/5×2/3×1/2=128/15

      而实际筛除了9个数，多筛了8/15个数(128/15－8=8/15），也就是有效数（整数数量）是9，比公式计算值128/15多7/15，（9－128/15=7/15），也就是32/2分析区范围内(从1至32/2这个区域）出现正差(7/15），根据定律①可知：本次筛除必定会产生与正差(7/15)绝对值相等，方向相反的负差(－7/15)。即：第三次筛除产生的误差是负差(－7/15)。

      按公式计算，第三筛后，应留下
      32×(1－1/5)×(1－1/3)×(1－1/2)=32×4/5×2/3×1/2=128/15个数，

       而实际筛除后留下的是9个数(32－6－8－9=9)，正差是7/15。(9－128/15=7/15)

       可知:第三次筛除过程中产生的误差是负差(－7/15)，筛除后的累计误差是正差7/15。14/15+(－7/15)=7/15

       因为在32/2分析区范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有正差7/15，并知：与筛除前的总误差（正差14/15）同方向，根据定律②可知，此次筛除产生的误差对总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。实际情况也是这样，经过第三筛后，总误差由正差14/15冲减成为正差7/15。14/15－7/15=7/15

志明

       三次筛除的情况如下:

      第一筛产生的误差是正差2/5， 筛后的累计误差也是正差2/5；
      第二筛产生的误差是正差8/15，筛后的累计误差是正差2/5+8/15=14/15；  
      第三筛产生的误差是负差(－7/15)，筛后的累计误差是正差2/5+8/15－7/15=7/15。

     分析：
     已知：“连乘积公式”的基础条件是：“在从1至偶数A的范围内，素数倍数的分布和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布，虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。”因此，在运用“连乘积公式”进行筛除的过程中，“在从1至偶数A的范围内出现的误差，其分布情况同样，虽然不是绝对的均衡，但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。”“误差的分布具有相对的均衡性。”这一必然现象，是由“连乘积公式”的基础条件所确定的。

     并知：随着筛除次数的增加，分析区的范围会不断增大。当累计的总误差较大，并且分析区的范围也较大时，（最大的A/2分析区的范围从1至A/2，占据了从1至A的一半），因为“误差的分布具有相对的均衡性。”因此，这时所有的误差不可能全部集中在分析区之外的范围，在分析区内必定会有与累计的总误差同方向的误差。根据定律②可知：此次筛除必定会出现与筛除之前累计的总误差方向相反的误差，此次筛除产生的误差，对之前累计的总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。这是“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能。

     在前面的分析中也可看出这一现象，当累计的总误差相对较大时（正差14/15），在分析区范围内就有与累计的总误差同方向的误差（正差7/15），第三筛就产生了与累计的总误差方向相反的负差（－7/15），把总误差由正差14/15冲减成正差7/15。这是“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能在发挥作用。

      “误差的分布具有相对的均衡性”这一必然现象，是由“连乘积公式”的基础条件确定的，因此，“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，是由“连乘积公式”的基础条件衍生出来的必然现象。

        即：“误差的分布具有相对的均衡性”，与“‘连乘积公式’的基础条件”是共存关系；

       “‘连乘积公式’自身对误差具有的调控功能”，与“误差的分布具有相对的均衡性”同样是共生关系。

        因此，“‘连乘积公式’自身对误差具有的调控功能”，与“‘连乘积公式’的基础条件”必然也是共存关系。

       由此可知：是“连乘积公式”的基础条件，确定了“连乘积公式”自身对误差必定具有调控功能。”因此，“连乘积公式”的计算结果必定是相对合理的近似值（误差率不会无限增大，误差率不会很大）。自身对误差具有调控功能的“连乘积公式”，对于只需要证明存在一对素数对的哥猜完全绰绰有余。

志明

《运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高》
http://www.mathchina.com/bbs/for ... age%3D29&page=1

志明

顶上去，

wangyangke

顶上去，



除雷明而外，有谁以为不是笑话么，，，，





笑话————

继鲁思顺——定理：鲁思顺是个二百五！——之后，陕西雷明举重若轻，轻松证明哥德巴赫猜想

愚工688

如果 把偶数M的素对分为两类：
条件a:两个数都不能被√（M-2）里面的所有素数整除；其数量记为S1（m);
条件b:大数不能被√（M-2）里面的所有素数整除而小数为√（M-2）里面的某个素数；其数量记为S2（m);
偶数全部的素对数量  S（m)则有  S（m)=S1（m)+S2（m)。
那么计算偶数的连乘式主要就是反映了符合条件a类的素对数量的变化情况。
在小偶数区域，连乘式的计算值与S1（m)的变化情况是比较接近的。

比如100里面偶数的素对计算实例：
Sp(m)：素数连乘式四舍五入后取整。
s1(m)——即是不含小于√M的素数的素对数量。
δ1(m)—— 即为Sp(m)对s1(m)的相对误差。
δ(m)—— 即为Sp(m)对全部素对S(m)的相对误差。

M= 6          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 8          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 10         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.5
M= 12         ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 14         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 16         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 18         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ .5     ,δ1(m)≈ .5
M= 20         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 22         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 24         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 26         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.667   ,δ1(m)≈-.5
M= 28         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 30         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 32         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 34         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 36         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 38         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 40         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 42         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 44         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 46         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 48         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 50         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 52         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 54         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 56         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 58         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 60         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 62         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 64         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.6     ,δ1(m)≈-.333
M= 66         ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ .25
M= 68         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 1
M= 70         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 72         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 74         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 76         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 78         ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 80         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 82         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 84         ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ 0
M= 86         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 88         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 90         ,S(m)= 9      ( s1= 8 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.111   ,δ1(m)≈ 0
M= 92         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 94         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 96         ,S(m)= 7      ( s1= 6 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .167
M= 98         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 100        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0

而在5万附近区域，连乘式的积与全部素对数量,S(m)则更接近。
示例：
M= 55000      ,S(m)= 569    ( s1= 560 ,s2= 9 ), Sp(m)≈ 556    ,δ(m)≈-.023   ,δ1(m)≈-.007
M= 55002      ,S(m)= 751    ( s1= 740 ,s2= 11 ),Sp(m)≈ 766    ,δ(m)≈ .02    ,δ1(m)≈ .035
M= 55004      ,S(m)= 361    ( s1= 357 ,s2= 4 ), Sp(m)≈ 375    ,δ(m)≈ .039   ,δ1(m)≈ .05
M= 55006      ,S(m)= 466    ( s1= 458 ,s2= 8 ), Sp(m)≈ 450    ,δ(m)≈-.034   ,δ1(m)≈-.017
M= 55008      ,S(m)= 738    ( s1= 726 ,s2= 12 ),Sp(m)≈ 754    ,δ(m)≈ .022   ,δ1(m)≈ .039
M= 55010      ,S(m)= 499    ( s1= 492 ,s2= 7 ), Sp(m)≈ 500    ,δ(m)≈ .002   ,δ1(m)≈ .016
M= 55012      ,S(m)= 398    ( s1= 390 ,s2= 8 ),      Sp(m)≈ 400    ,δ(m)≈ .005   ,δ1(m)≈ .026
M= 55014      ,S(m)= 760    ( s1= 749 ,s2= 11 ),    Sp(m)≈ 769    ,δ(m)≈ .012   ,δ1(m)≈ .027
M= 55016      ,S(m)= 432    ( s1= 424 ,s2= 8 ),      Sp(m)≈ 429    ,δ(m)≈-.007   ,δ1(m)≈ .012
M= 55018      ,S(m)= 380    ( s1= 374 ,s2= 6 ),      Sp(m)≈ 375    ,δ(m)≈-.013   ,δ1(m)≈ .003
M= 55020      ,S(m)= 1213   ( s1= 1198 ,s2= 15 ), Sp(m)≈ 1210   ,δ(m)≈-.002   ,δ1(m)≈ .01

愚工688

在10万以上，连乘式的计算值逐渐偏移素对真值，相对误差基本上大于0；
并且随着偶数的增大逐渐趋于0.20附近。
连乘式的相对误差在1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）

100000000 -   100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
2000000000 - 2000000098 : n= 50 μ= .1406  σx= .0003  δ(min)= .1399  δ(max)= .141
3000000000 - 3000000098 : n= 50 μ= .1431  σx= .0002  δ(min)= .1425  δ(max)= .1435
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449  σx= .0003  δ(min)= .1441  δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471  σx= .0002  δ(min)= .1466  δ(max)= .1474  
8000000000 - 8000000050 : n= 26 μ= .1486  σx= .0002  δ(min)= .1481  δ(max)= .1490
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
15000000000-15000000098 : n= 50 μ= .15159 σx= .00014 δ(min)= .1511  δ(max)= .15185
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637  
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

很显然，在大偶数区域样本的标准偏差值比较小，样本内各个偶数的相对误差比较接近。它们素对数量的变化主要是由波动系数造成的：
例 ：偶数 M=2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37=7,420,738,134,810

G(7420738134810)= 30309948241,
inf( 7420738134810 *)≈  30233901517.1 ,Δ≈-0.00251,infS( 7420738134810 )= 5970222137.57 , k(m)= 5.0641167
G(7420738134812)= 5988387894,
inf( 7420738134812 *)≈  5973402863.3 , Δ≈-0.00250,infS( 7420738134812 )= 5970222137.57 , k(m)= 1.00053
G(7420738134814)= 5985233205,
inf( 7420738134814 *)≈  5970222137.6 , Δ≈-0.00251,infS( 7420738134814 )= 5970222137.57 , k(m)= 1

我们可以通过两个偶数的不同的波动系数 k(m)之比值，由一个偶数的素对真值推测出另外一个偶数的素对真值，精确度是很高的。
由偶数7420738134814的素对真值5985233205，通过波动系数之比求与偶数7420738134810的真值：
5985233205×5.0641167=30309919426.8；
计算精度=30309919426.8÷30309948241=0.99999905，很高。