正整数的不同拆分种数的计算公式

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/15 05:13pm 第 2 次编辑]

这是我对白新岭在下列帖子中提出的问题的解答：
“[原创]luyuanhong教授能不能回答一个问题-关于整数拆分的”
http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5303

白新岭

非常感谢luyuanhong教授，给出如此详细答复。我是在用Excel软件求P(n)的值时发现它们的关系的。当时不敢确认它们的等式关系，但是当求完100以内的P(n)的值后，自己判断它们是恒等关系式。我是从正整数系数方程的正整数解的组数数目入手做分析得出结论的，让方程x+2y+3z+.....+mu=n,的定义域扩大，即研究非负正整数解的组数与正整数数解的组数数目的差，还有其中一个变量可以取0值，如u=0,可认为，x+2y+3z+.....+mu=n+m。这时原方程有一个变量可以取0值（如u能取0），与新构方程的正整数解的组数数目一样。我把这种改变定义域范围的方法称谓：正整数系数方程的方程分拆，它可以充分利用排列组合知识解决任意正整数系数方程的正整数解的组数问题，也能解决整数分拆问题。这里还有一个比较难的问题，现在高中课本中介绍九连环的内容，当完成奇数个环的解开或挂起时需要的步骤为：（1/3）*[2^(n+1)-1] ，用S(N,3)表示方程1x+2y+3z=N的正整数解的组数数目，求证对于任意一个n值，都有唯一的一个N值与它对应，使等式成立，：（1/3）*(2^(2n)-1)=S(N,3).或者说，此方程有无数组正整数解。对于任意的一个n都有一组正整数解。但是n=1时例外，有两种情况，一个是N=6,另一个是N=7,这2个值都能使等式成立。当n>1时不会有2个N值与n对应。后边是几组小点的解（n,N)=（2，11），（3，19），（4，35），（5，67），（6，131），（7，259），（8，515），（9，1027），（10，2051）。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/18 02:01pm 第 2 次编辑]

下面引用由白新岭在 2009/01/16 05:13pm 发表的内容：
这里还有一个比较难的问题，现在高中课本中介绍九连环的内容，当完成奇数个环的解开或挂起时需要的步骤为：（1/3）*[2^(n+1)-1] ，用S(N,3)表示方程1x+2y+3z=N的正整数解的组数数目，求证对于任意一个n值，都有唯一的一个N值与它对应，使等式成立，：（1/3）*(2^(2n)-1)=S(N,3).或者说，此方程有无数组正整数解。对于任意的一个n都有一组正整数解。但是n=1时例外，有两种情况，一个是N=6,另一个是N=7,这2个值都能使等式成立。当n>1时不会有2个N值与n对应。后边是几组小点的解（n,N)=（2，11），（3，19），（4，35），（5，67），（6，131），（7，259），（8，515），（9，1027），（10，2051）。

这个问题解答如下：

白新岭

今日在搜寻luyuanhong教授原先一个相关帖子时，看到了此贴。为了收藏。顶起

白新岭

为了便于大家理解P(n)的生成函数，特顶起此贴。

白新岭

能不能从这个公式中推出整数拆分函数？

luyuanhong

luyuanhong

luyuanhong