哥德巴赫猜想成立的证明——余数定理法

愚工688

             哥德巴赫猜想成立的证明——余数定理法


一，古代数学家留下的余数定理与艾拉托色尼筛法判断素数的法则

中国古代数学家在《孙子算经》对于余数定理早有研究,其中流传比较广的有韩信点兵法:
三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知.

这就是依据某数除以3、5、7的各余数的组合来求出该数的一种计算方法。
同样我们只要知道某数除以其它任意3个素数的余数，也能够求出满足余数条件的最小数；
类似这样已知某数除以4个素数的余数、除以5个素数的余数，同样可以求出满足余数条件的最小数，这就是中国余数定理所涉及的多阶余数问题。

而素数的判断定理：
艾拉托色尼筛法（Eratosthenes）：x不能被≤√x 的所有素数整除即为素数。
这是目前判断素数的最基本有效的方法。
x不能被≤√x的所有素数2、3、5、…整除即为素数。从余数方面表述，就是余数都不等于零的情况。
两位2200多年前的古代数学大师，留下的学说至今仍然是极其宝贵的。


二，哥德巴赫偶数猜想涉及的偶数能否分拆成两个素数问题，可以与余数定理、艾氏筛法关联起来。

任意偶数M拆分的两个数可以表示成A±x,(M=2A),
把≤√(M-2)的所有素数记为2、3、5、…、r；
依据艾拉托色尼筛法，其中能够形成素数对的A±x 有下面两种情况：
a)：满足 A±x 不能被≤√(M-2)的所有素数为2、3、5、…、r 整除。这样的x值的数量记作 S1(m);
b)：满足 A+x 不能被≤√(M-2)的所有素数为2、3、5、 …、r 整除，而 A-x 等于≤√(M-2)的某个奇素数。这样x值的数量记作 S2(m)。
就这样偶数M表为两个素数和A±x的全部数量有 S(m)= S1(m)+ S2(m). {式1}

于是偶数M的素对A±x的问题就转化成一个与偶数半值A有关的x值的筛选问题。

由于自然数中数在除以任意一个素数的余数呈现周期性变化：
除以2时的余数变化：0、1、0、1、0、1、…；
除以3时的余数变化：0、1、2、0、1、2、…；
除以5时的余数变化：0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、…；
……
除以r时的余数变化：0、1、2、…、r-2、r-1、0、…；

由任意给定偶数2A 确定了A除以≤√(M-2)的所有素数的余数：j2、j3、j5、j7、…jr；
而要使得 A±x不能被这些素数整除，变量x的余数条件为与A的余数必须不构成同余关系，即
        变量x除以2，余数不等于j2；
        变量x除以3，余数不等于j3与（3-j3）；
        变量x除以5，余数不等于j5与（5-j5）；
        变量x除以7，余数不等于j7与（7-j7）；
        ……
而在除以每个素数的周期性变化的余数中，筛除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数存在。
因此在除以每个素数的余数周期性变化中，都有不与A的余数构成同余关系的余数。
而每个素数的筛余余数中各取一个余数的各个组合，都各自对应一个最小整数解，它们可以由中国剩余定理求出。它们分布于π(r)个连续自然数中【π(r)=√(M-2)内素数乘积】，其中处于[0，A-3]范围的数x，即是所需的哥德巴赫猜想成立的变量值x，其能够与A构成偶数2A的素数对 A±x。
这是自然数中的数除以任意素数的余数呈现周期性变化的规律所决定的，因而不与A的余数构成同余关系的变量x必然存在，由此可知偶数2A的素数对{ A±x }也必然存在。

例一，偶数100的变量x的对应余数条件
由偶数100的半值50除以2、3、5、7的余数条件50（j2=0,j3=2,j5=0,j7=1),
得出x的余数条件:x(y2=1,y3=0,y5≠0,y7≠1与6），
即x的余数条件：2（1）、3（0）、5（1，2，3，4）、7（0，2，3，4，5），
可以构成以下不同余数的20种组合：
（1,0,1,0),（1,0,1,2),（1,0,1,3),（1,0,1,4),（1,0,1,5);
（1,0,2,0),（1,0,2,2),（1,0,2,3),（1,0,2,4),（1,0,2,5);
（1,0,3,0),（1,0,3,2),（1,0,3,3),（1,0,3,4),（1,0,3,5);
（1,0,4,0),（1,0,4,2),（1,0,4,3),（1,0,4,4),（1,0,4,5);


运用中国剩余定理，每组不同的余数条件组合在素数连乘积内（此题即２×３×５×７＝210 个连续自然数中）对应于一个唯一的整数，有
（1,0,1,0)=21, （1,0,1,2)=51, （1,0,1,3)=171,（1,0,1,4)=81, （1,0,1,5)=201;
（1,0,2,0)=147,（1,0,2,2)=177,（1,0,2,3)=87, （1,0,2,4)=207,（1,0,2,5)=117;
（1,0,3,0)=63, （1,0,3,2)=93, （1,0,3,3)=3,  （1,0,3,4)=113,（1,0,3,5)=33;
（1,0,4,0)=189,（1,0,4,2)=9,  （1,0,4,3)=129,（1,0,4,4)=39, （1,0,4,5)=159;

其中处于x值取值区域【0，47】内的x值有：21，9，3，33，39，

A= 50 ,x= : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 ——符合条件b),
代人A±x,得到符合条件a的全部素数对：
[ 100 = ] 47 + 53，41 + 59，29 + 71，17 + 83，11 + 89，（3 + 97 ）

这样的求出偶数2A的素对 A±x的方法，正是两位伟大的古代数学先驱韩信与Eratosthenes 所留给我们的宝贵知识的应用结果。

作为题外话，x=63，81,87，93等不在取值区间的变量值会有什么意思呢？
50±63=｛-13 +113 ；50±81=｛-31 +131｝；50±87=｛-37 +137｝；50±93 =｛-43 +143 ｝；
显然，A-x出现了负素数，A+x不一定是素数，而这样的两个数仍然不能被≤√(M-2)的所有素数整除。
而x=63，81,87，93等不在取值区间的变量值相当于解方程时的增根，舍弃即可。


三，满足条件a的变量x的数量计算


由于x值的取值区域是一个自然数区域[0，A-3]，（或[0，A-2]也可。）
这样的x值的数量依据概率的乘法定理有：
Sp(m)= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
     =(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
     =(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). ----{式3-1}----这是人们通常所称为“连乘式”的素对数量计算式。
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] ；jn系A除以n时的余数。
亦可写作：
        Sp(m)= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
             = (A-2)*(1/2)*π[(p-2)/p]*π[(p1-1)/(p1-2)];  ----{式3-2}
        式中：2＜p≤√(M-2)，p1为偶数含有的奇素因子，p1≤p ；

例二：
M= 120 ，A= 60 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ； A除以素数2，3，5，7的余数分别是j2=0，j3=0，j5=0，j7=4；在[0，57]区间里面同时满足：
x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠0、x除以5的余数≠0、x除以7的余数≠4与3
的x值实际有 x= : 1 ， 7， 13 ， 19 ， 23 ， 29 ， 37 ， 41 ，43 ， 47 ， 49 ，( 53 ) ——括号内是符合S2(m)条件的x值，即(A-x)等于≤√(M-2)的素数7；
代入 M= （A-x ）+（ A+x ） 的模式，得到120的全部素对： 59 + 61 ，53 + 67，47 + 73， 41 + 79 ，37 + 83 ，31 + 89 ，23 + 97 ，19 + 101 ，17 + 103 ，13 + 107 ，11 + 109 ，7 + 113.
M=120 ，S(m)= 12 ，S1(m)= 11 ， Sp(m) ≈11.0476 ，δ1≈ 0.004 ，δ(m)≈ -0.079 ，K(m)= 2.67 ， r= 7

而x值的概率计算数量Sp( 120)的计算式子与相对误差δ(m)的计算式子分别为：
Sp( 120)=( 120/2- 2)/2*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)≈ 11.0476
与S1(m)的相对误差 :δ1=0.0476/11≈0.004
与S(m)的相对误差:δ(120)=(11.0476-12)/12=-0.9524/12 ≈ -0.079

由于符合条件b的x值的数量S2(m)不具有可计算性，我们可以把概率计算数量Sp( M)视作全部素数对的计算值，也可把Sp( M)作为满足条件a的素数对的计算值，可以用不同的相对误差来体现出不同计算对象的计算值的精度。

符合条件b的x值的数量S2(m)不具有可计算性的实例证据：
既有小偶数时s2= 2的偶数，也有比较大偶数的s2=0的偶数以及与其差不多大偶数的s2= 26的实例。
M= 34  ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),
M= 54244      S(m)= 360   S1(m)= 360 ,s2=0  ；
M= 54600      S(m)= 1299  S1(m)= 1273 ，s2= 26 ；     

当然偶数M越大，≤√(M-2)的所有素数越来越多，从孙子定理的角度看，虽然牵涉到的素数越来越多，余数问题越来越复杂，但是基本的原理并没有发生变化。
偶数M越大，x值的筛选与数量计算必然相应的要复杂一些，这是不可避免的。
但对于使用电脑可以实现用程序来计算的偶数的素对数量来说，事件没有发生本质的变化，只是计算需要的时间不同而已。


例三，偶数的素数对的计算示例

偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，半值A= 454，其素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，x值数量计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体每一步因子的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·5·…·n·…·r))
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

实际筛得的变量x的值有：
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 共15个。
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然素数对计算值的相对误差为零的偶数是很少的，大多数偶数的素数对计算值是有一些相对误差的。


四，大偶数的素数对数量的计算实例
大偶数的素对连乘式的计算值会发生相对误差偏离0位而逐渐趋近0.20附近的现象，需要对这种偏离现象作一个预设的校准才能够得到比较满意的偶数素对的计算值。（校准原理略）

180亿的连续偶数的素数对下界计算值：（jd——精度）
G(18000000000) = 62146438;inf( 18000000000 )≈  62097307.9 , jd ≈0.99921,infS(m) = 23286490.46 , k(m)= 2.66667
G(18000000002) = 23304858;inf( 18000000002 )≈  23286490.5 , jd ≈0.99921,infS(m) = 23286490.46 , k(m)= 1
G(18000000004) = 27962944;inf( 18000000004 )≈  27943788.6 , jd ≈0.99931,infS(m) = 23286490.46 , k(m)= 1.2
G(18000000006) = 46614346;inf( 18000000006 )≈  46579119.5 , jd ≈0.99924,infS(m) = 23286490.46 , k(m)= 2.00026
G(18000000008) = 24416026;inf( 18000000008 )≈  24395371   , jd ≈0.99915,infS(m) = 23286490.47 , k(m)= 1.04762
G(18000000010) = 33557892;inf( 18000000010 )≈  33527435.4 , jd ≈0.99909,infS(m) = 23286490.47 , k(m)= 1.43978

计算式：
inf( 18000000000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 62097307.9
inf( 18000000002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 23286490.5
inf( 18000000004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 27943788.6
inf( 18000000006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 46579119.5
inf( 18000000008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 24395371
inf( 18000000010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 18000000010 /2 -2)*p(m) ≈ 33527435.4


200亿的连续偶数素数对下界数量的计算：（jd——精度）

G(20000000000) = 34204396；inf( 20000000000 )≈  34187864.9 , jd ≈0.99952 ,infS(m) = 25640898.64 , k(m)= 1.33333
G(20000000002) = 25917735；inf( 20000000002 )≈  25908142.7 , jd ≈0.99963 ,infS(m) = 25640898.64 , k(m)= 1.01042
G(20000000004) = 51311042；inf( 20000000004 )≈  51281797.3 , jd ≈0.99943 ,infS(m) = 25640898.64 , k(m)= 2
G(20000000006) = 30786908；inf( 20000000006 )≈  30769078.4 , jd ≈0.99942 ,infS(m) = 25640898.65 , k(m)= 1.2
G(20000000008) = 25659138；inf( 20000000008 )≈  25640898.7 , jd ≈0.99929 ,infS(m) = 25640898.65 , k(m)= 1
G(20000000010) = 68425196；inf( 20000000010 )≈  68375729.8 , jd ≈0.99928 ,infS(m) = 25640898.65 , k(m)= 2.66667

计算式：
inf( 20000000000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 34187864.9
inf( 20000000002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 25908142.7
inf( 20000000004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 51281797.3
inf( 20000000006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 30769078.4
inf( 20000000008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 25640898.7
inf( 20000000010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20000000010 /2 -2)*p(m) ≈ 68375729.8

偶数的素对数量的计算值与实际真值的值点连线的图形示例：
从图形上面我们可以清晰的看到，偶数实际存在的可分成的素对数量是有规律的，因此可以用计算式来近似描绘的。
而无论是实际存在的素对真值的数量随偶数变化的波动，还是偶数素对的计算值Sp(m),它们都与偶数含有的奇素因子系数K（m)的值的大小有关联。




而没有素对总数S(m)的图形的干扰，满足条件a的素对数S1（m）与计算值Sp（m）的图形时相似程度比较高的：


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白新岭

有点苗头，没有抓住“余数”的实质。合成方法论已经彻底解开了哥德巴赫猜想的面纱。

愚工688

白新岭 发表于 2022-8-3 06:39
有点苗头，没有抓住“余数”的实质。合成方法论已经彻底解开了哥德巴赫猜想的面纱。

从自然数中的数除以任意素数的余数呈现周期性变化的规律出发，可知不与A的余数构成同余关系的变量x必然存在，由此可得到偶数2A的素数对{ A±x }也必然存在。
这就是证明哥德巴赫猜想的思路与最简单的方法。

使用连乘式作计算实例，只是连乘式完全符合艾拉托色尼筛法的筛选原理。并且具有一定的计算精度。

你的合成方法论在哪里？欣赏欣赏！

愚工688

计算偶数的素对数量的方法，除了连乘式外，类似哈代公式的计算式也是不错的。
以今天日期的百倍的连续偶数的素对计算：

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  ；
  相对误差动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484;
   c1---改进的拉曼扭扬系数，（只计算√M内的素数，提高计算效率）

  G(2022080300) = 4590806  ;Xi(M)≈ 4591123.18   δxi(M)≈? 0.000091;
  G(2022080302) = 3587930  ;Xi(M)≈ 3587710.39   δxi(M)≈?-0.000061;
  G(2022080304) = 6424692  ;Xi(M)≈ 6421598.27   δxi(M)≈?-0.000482;
  G(2022080306) = 3210721  ;Xi(M)≈ 3211106.14   δxi(M)≈? 0.000120;
  G(2022080308) = 3245573  ;Xi(M)≈ 3244276.42   δxi(M)≈?-0.000400;
  G(2022080310) = 8560795  ;Xi(M)≈ 8562131.24   δxi(M)≈? 0.000156;
  G(2022080312) = 3960025  ;Xi(M)≈ 3960201.94   δxi(M)≈? 0.000047;
  G(2022080314) = 3221902  ;Xi(M)≈ 3221832.82   δxi(M)≈?-0.000021;
  G(2022080316) = 6421083  ;Xi(M)≈ 6421598.31   δxi(M)≈? 0.000080;
  G(2022080318) = 3208700  ;Xi(M)≈ 3210799.16   δxi(M)≈? 0.000654;
  G(2022080320) = 4945534  ;Xi(M)≈ 4945167.34   δxi(M)≈?-0.000074;
  G(2022080322) = 6422769  ;Xi(M)≈ 6421598.33   δxi(M)≈?-0.000182;
  G(2022080324) = 3578906  ;Xi(M)≈ 3578398.16   δxi(M)≈?-0.000142;
  G(2022080326) = 3865986  ;Xi(M)≈ 3865427.99   δxi(M)≈?-0.000144;
  G(2022080328) = 6767091  ;Xi(M)≈ 6766159.73   δxi(M)≈?-0.000138;
  time start =17:13:04, time end =17:13:55

白新岭

愚工688 发表于 2022-8-3 16:47
从自然数中的数除以任意素数的余数呈现周期性变化的规律出发，可知不与A的余数构成同余关系的变量x必然存 ...

合成方法论群论的兄弟篇
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 1&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
在这个主题下有相关内容，为了防止这种方法不过早泄露出去，就没有写完整的证明过程，只是掐头去尾的写了中心主体部分，没有过程，没有前言，也没有结尾，只是公布了主要方法，而且几乎每个这样的帖子都有一句这样的话：对本楼不宜解释，请见谅
或者：本楼内容过于重要，不便解释，请谅解！
总之，是没头没脑的公布了一个二维运算数据及其统计结果，如帖子末尾或点评所写那样，不宜过多解释。
现在时机还不成熟，当我把书写完，自费出版后，会公布完整的证明方法。
现在只是公布结果，以公式表示，那些公式都是合成方法论的产物，包括哈代-李给的歌猜渐近公式在内的好多与素数问题有关的公式，大部在k生素数素数群和合成方法论中那些帖子之中，如果需要数据支持和验证的由请教那宝吉先生的vfp编程中的编程程序提供。

任在深

素数单位定理：任意偶合数2n含有素数单位Pn的个数是π(2n).

       (1)  π(2n)=[(2n+12(√2n-1)]/An
偶数2含有两个素数 1,2.
* * 4*****三个素数, 1.2.3.
* * 6*****四个素数，1,2,3,5.
** 8*****五个素数，1,2,3,5,7.
  求偶数10，12含有素数单位的个数

         (2) π(10)=[(10+12(√10-1)]/7=[35.9/7]=5
         (3) π(12)=[(12+12(√12-1)]/7=[5.9]=6
当n=100时：
        (4) π(100)=[(100+12(√100-1)]/8=208/8=26.

愚工688

白新岭 发表于 2022-8-3 10:23
合成方法论群论的兄弟篇
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2048601&fromuid= ...

期待早日看到你的大作。

愚工688

以今天日期的10倍开始的连续偶数的素对计算精度（jd）：


inf( 202208040 )≈  1117610.8 ,jd ≈0.99173 ,infS(m) = 405133.91 , k(m)= 2.75862
inf( 202208042 )≈  424426 ,   jd ≈0.99283 ,infS(m) = 405133.91 , k(m)= 1.04762
inf( 202208044 )≈  405133.9 , jd ≈0.99267 ,infS(m) = 405133.91 , k(m)= 1
inf( 202208046 )≈  824001.2 , jd ≈0.99227 ,infS(m) = 405133.92 , k(m)= 2.0339
inf( 202208048 )≈  487369.6 , jd ≈0.99356 ,infS(m) = 405133.92 , k(m)= 1.20298
inf( 202208050 )≈  600198.4 , jd ≈0.99184 ,infS(m) = 405133.93 , k(m)= 1.48148
inf( 202208052 )≈  814144.8 , jd ≈0.99260 ,infS(m) = 405133.93 , k(m)= 2.00957
inf( 202208054 )≈  405133.9 , jd ≈0.99393 ,infS(m) = 405133.93 , k(m)= 1
inf( 202208056 )≈  405133.9 , jd ≈0.99283 ,infS(m) = 405133.94 , k(m)= 1
inf( 202208058 )≈  883928.6 , jd ≈0.99228 ,infS(m) = 405133.94 , k(m)= 2.18182
inf( 202208060 )≈  545635 ,   jd ≈0.99206 ,infS(m) = 405133.95 , k(m)= 1.3468
inf( 202208062 )≈  486160.7 , jd ≈0.99276 ,infS(m) = 405133.95 , k(m)= 1.2
time start =11:07:20  ,time end =11:07:32   ,time use =

202208040:12:2
素对真值：
G(202208040) = 1126930
G(202208042) = 427493
G(202208044) = 408124
G(202208046) = 830416
G(202208048) = 490530
G(202208050) = 605138
G(202208052) = 820215
G(202208054) = 407610
G(202208056) = 408061
G(202208058) = 890809
G(202208060) = 550001
G(202208062) = 489707

liugongqin

回答错误0分。不懂数学不学无术。你连哥德巴赫猜想的命题都搞错了。把简单的搞复杂了是浪费。

——你犯了一个不学无术违背数学逻辑的错误。

liugongqin

回答错误0分。你证明哥德巴赫猜想命题错误。请看我首席科学家发明家刘功勤证明哥德巴赫猜想如下：

（作图略）在坐标系中以0点为原点作Y轴与X轴角YOX的平分线L。L=Y=X1+X2=1+1=2。

因此,1742年德国数学家哥德巴赫提出的任何一个大于或等于2的偶数都等于两个奇数之和的猜想。通过证明是正确的。哥德巴赫猜想的证明获得了成功。

综上所述，哥德巴赫猜想的证明成功，是数学范围内数论领域里的一项革命性的突破，为数学的发展和进步提供了准确、可靠的数论基础。

——你犯了一个不学无术数学命题的错误。