所有素数在数列2*（2^n-1）项的因子中的出现位置小于P

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所有素数在数列2^（n+1）-2项的因子中的出现位置小于P，意思是说，n小于P的以前项中因子一定有含素数P的项，举例说，素数2，在小于2项前一定有含素数2的项，那就是第一项，2^(n+!)-2=2*(2^n-1),当n=1时，它是2，含有素数因子2；素数3，在小于3以前的项中，一定有含素数3因子的项，那只能是n=1或n=2时，n=1时，数列值是2，不含素数3，n=2时，数列项的值是6，含有素数3；素数5，在第五项前，一定有含素数5的项，1项，2项已经讨论，那在3项或4项中的因子一定含有素数5，第三项是14=2*7，含有素数因子7，它应该在第7项以前出现，它在第三项中就出现了，第四项的值是30=2*3*5，素数5在第5项以前出现了；接下来应该是素数7，它已经在第三项出现，符合命题；下一个是素数11，第五项是62=2*31，出现了素数31，没有素数11，在一项是126=2*3^2*7,仍没有出现，一直分析下去，到n=10时，第10项的值是2046=2*3*11*31，素数11出现了；不在赘述。
命题：所有素数在数列2*（2^n-1）项的因子中的出现位置小于P

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2^49-1前出现的素数
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
71
73
79
89
97
109
113
127
151
223
233
241
257
331
337
397
431
601
631
673
683
1103
1801
2089
2113
2351
2731
4513
5419
8191
9719
13367
23311
43691
61681
65537
121369
122921
131071
174763
178481
262657
524287
599479
2099863
2796203
13264529
164511353
616318177
2147483647
4432676798593
这是分析完n=49以前出现的因子，49以前的素数因子全部出现。
这65个素数，把它做模，数列2^n-2模它们的剩余类也就确定了，这比起直接求剩余类个数要实用的多，因为数列是指数增长，很快就会超过现有计算机的精度范围，也就没有办法确定剩余类的个数，所以我们必须利用数列模2^K-1的数的剩余类个数为k这个命题（当然还得有，推论，是它因子的素数的剩余类个数也是k，当然要限制是第一次出现，以后的出现要无条件的服从第一次出现时的k值）

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它的实际意义是数列模素数p的剩余类最多为p-1个，甚至如果p能写成2^q-1的形式，则剩余类为q个（这时的素数p为梅森素数）

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在数列2^n-1中除了素数2不出现外，所有素数都出现在它的因子中（或是本身，当它为梅森素数时），任何素数都出现在小于它本身数n以前，而数列2^n+1就不一样，它不含所有素数（即是不包括2），如果它有素数因子，则出现在（p+1）/2以前，如素数3，当n=1时出现，素数5当n=2时出现，素数7，在n=3时应出现，可是没有出现，所以数列2^n+1不能整除素数7，下一个素数11，在n=5时应出现，数列项值为33，出现了，素数13，在n=6时必须出现，数列项值为65，出现了，素数17在n=8以前出现，实际上在n=4时就出现了，所以一切素数，如果是数列2^n+1的因子，一定在（p+1）/2以前出现，这比起在数列2^n-1中出现要早一半。

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数列2^n无论加减何种正整数，它模素数P的剩余类个数不变（种类随加减值的不同而改变），模合数时情况应该一样。

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2^n-1中的分解因式中的素数与n的分解因式有对应关系。
例如2^12-1,   12=2*2*3,因子2对应素数3，因子6对应3的平方，12本身对应素数13，，4对应素数5,  3对应素数7，这样2^12-1=3^2*5*7*13都有对应关系。

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2^16-1=3*5*17*257,分别是2^2^m+1的素数，m取0到3.m是连续自然。

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2^32-1=3*5*17*257*65537,分别是2^2^m+1的素数，m取0到4.m是连续自然。

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2^64-1=3*5*17*257*65537*6700417,分别是2^2^m+1的素数，m取0到5.m是连续自然。

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看来只有前6个2^2^m+1是素数，m=0，是素数3；m=1，是素数5；m=2，是素数17；m=3，是素数257；
m=4，是素数65537；m=5，是素数6700417。后边不再连续。