∑(k=1,∞)uk(x)在[0,∞)一致收敛，uk(x)在[0,∞)连续，在[0,∞)积分与求和可否交换？

永远

下图中可知 例2  的结论是对的。

陆老师给出的  定理1  明显是对有限区间才恒成立的。


而我给的 例2  是在无穷区间前提下  问积分号与求和号是怎么交换的。

首先可以肯定的是：当 \(0 < x <  + \infty \) 时，函数项级数 \(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} \) 一致收敛。

请问：当函数项级数\(\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} \)在无穷区间下一致收敛时，积分号与求和号 是怎么交换的？

如下，这样写有问题吗？(又或者根据给出的  定义和定理一  能不能得到下面的结论？)

\(\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}\int_0^{ + \infty } {x{e^{ - k\,x}}dx} }  = \int_0^{ + \infty } {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{{( - 1)}^{k + 1}}x{e^{ - k\,x}}} } \right]dx} \)

另外附上陆老师的相关贴子：

simpley

积分号与求和号交换，就是级数可以逐项积分。在无限区间，不一定成立

shuxuestar

说说我的意见：当极限细分趋近0的求和，就是有限积分数值。

无限区间积分，可以看作无穷个有限区间积分的和。 这个结论在值域连续可导的函数，无疑是成立的。

simpley

在函数级数是正项级数时，可证明成立。

shuxuestar

我说的是高数书上说的微积分学的基本法则，大体如此，怎么会不对？

simpley

shuxuestar 发表于 2025-8-20 11:58
我说的是高数书上说的微积分学的基本法则，大体如此，怎么会不对？

逐项积分只适用于闭区间（而且要求一致收敛），无限区间我只能证明在正项级数下成立。

永远

simpley 发表于 2025-8-20 22:28
逐项积分只适用于闭区间（而且要求一致收敛），无限区间我只能证明在正项级数下成立。

用一句话概括我的疑问：

如果函数项级数 \(\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{u_k}(x)} \)  在 \(\displaystyle\left( {0,\infty } \right)\)  上一致收敛，而且每一项  \(\displaystyle {u_k}(x)\) 都在 \(\displaystyle\left( {0,\infty } \right)\)  上连续，则积分号与求和号可以互相交换吗？  

也就是说这个等式成立吗？

\(\displaystyle\int_0^\infty  {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{u_k}(x)} } \right]dx}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {{u_k}(x)dx} } \)

我给的 例2  是在无穷区间前提下  问积分号与求和号是怎么交换的？

定理一是有限区间下才成立，对与无穷区间下怎么分析？

求助于陆老师，帮我看看吧

simpley

|u(x)-un(x)|<|u(x)|,可在无限区间逐项积分。而陆教授的式子满足条件

shuxuestar

simpley 发表于 2025-8-20 22:28
逐项积分只适用于闭区间（而且要求一致收敛），无限区间我只能证明在正项级数下成立。

积分对应曲线下的面积，两部积分也可以有正有负，几何意义对应正负轴向面积的差

积分和公式不限于正负但要连续 可导必须是 一 一对应的函数 才可以运用积分和公式........

永远

请问\(\displaystyle\int_0^\infty  {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^\infty  {{u_k}(x)} } \right]dx}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {{u_k}(x)dx} } \)  等式成立的充要条件是什么或者充分条件是什么也行，有人知道吗？