张筑生【数学分析新讲】开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律

elim

十六世纪后期, 丹麦天文学家第谷·布拉赫(Tycho Brache)以坚韧不拔的毅力,对太阳系的行星进行了长达20年之久的精细观测, 积累了丰富的观测资料. 他的助手, 德国人开普勒(Johanne Kepler)曾参与部分观测工作并继承了他的全部观测数据.在此基础上, 开普勒又进行了长达20年的研究 总结出关于行星运动的三大定律.

开普勒第一定律 行星绕太阳公转的轨道是椭圆, 太阳位于其焦点之一.

开普勒第二定律 从太阳中心指向行星的有向线段(向径)在相同时间内
                              扫过相同的面积(向径的面积速度是常数)。

开普勒第三定律 各行星公转周期的平方与其椭圆轨道长轴的立方之比
                              为常数.

牛顿根据对开普勒行星公转三定律的分析,判断行星应受到一个指向太阳的力的作用.这力的大小与行星的质量成正比, 与距离的平方成反比.经缜密思考,牛顿悟出这力就是重力.即存在于一切物体间的相互吸引力,总结出了万有引力定律:

万有引力定律 任何两个物体都相互吸引,引力沿二物体连线作用,其大
                             小与物体的质量之积成正比, 与二物体间的距离成反比.

elim

原帖图中的 h 应为 λ. 已经改正.

luyuanhong

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天山草

太阳对地球的引力有多大？此时，地面上的一个苹果既受地球的吸引，也受太阳的吸引，这两个力的大小相差多少倍？

上网查到，太阳质量是 1.989×10^30 千克（大约是地球质量的33万倍）。地球的质量为 5.98×10^24 千克。

地球距离太阳的平均距离 149,600,000 千米。（地球绕太阳的轨道大致算是圆形吧） 。

地球平均半径取 6370 千米。

一个苹果的质量取为 m=1 千克。

万有引力常数：G=6.67×10^-11  N·m2/kg2

G = 6.67 10^(-11);  m1 = 5.98×10^24; m2 = 1.989×10^30; r = 149600000000米;

太阳对地球的引力  F = ((G m1 m2 )/r^2)/9.8 =3.6172×10^23 千克力。

太阳对苹果的引力  f1 = ((G m m2 )/r^2)/9.8 =0.000604883 千克力。

地球对苹果的引力  f2 = ((G m m1 )/6370000^2)/9.8 =1 千克力。等于太阳对苹果引力的 1658 倍。所以苹果不会落向太阳，而是落向地球表面了。


上述数据以及计算对不对呢？

elim

简单的引力定律加上一些显然而合理的假设竟然能够推出开普勒的行星运行三大定律：

elim

牛顿是十七世纪的人. 他的理论在远远低于光速的情形与取代它的广义相对论仍然一致。奇怪的是在相距牛顿如此久远的今天，大多数人还是不知道用微积分去理解行星运动规律，更谈不上相对论宇宙学了。

这部分内容在【数学分析新讲】第一卷的最后. 北大学生二年级上学期肯定已经学完了这些内容。

天山草

       开普勒离世 13 年以后，牛顿才出生。因此开普勒时代并不了解微积分，微分方程这些东西。不知道他是如何得出天体运行三定律的。并且，他大概也没有万有引力的概念吧，虽然他能以其敏锐的洞察力判断出行星运动受来自太阳的引力的控制。
       开普勒定律可以从牛顿学说中推导出来，反过来说只要有牛顿运动定律，也能从开普勒定律中精确地推导出牛顿引力定律。但是这需要更先进的数学工具，而在开普勒时代则没有这样的工具，即使如此，开普勒也照样发现了天体运行三定律，所以非常了不起。

        网上介绍开普勒生平（摘录）：
        开普勒（1571-1630），杰出的德国天文学家，他发现了行星运动的三大定律，分别是轨道定律、面积定律和周期定律。
        开普勒出生在德国的一个贫民家庭，父亲是一个陆军军官，母亲是旅馆主人的女儿。开普勒是早产儿，体质很差，四岁时患上了天花和猩红热，身体受到了严重的摧残，视力衰弱，一只手半残。
            开普勒的父亲开了一片小客栈，由于经济困难，他不得不帮助父亲在店里打杂。在开普勒的再三央求下，父亲才先后送他进入日耳曼语学校和拉丁语学校学习。开普勒智力过人，又勤奋刻苦，所以学习成绩总是名列前茅。1589年，开普勒考入杜宾根大学，攻读神学、哲学和数学，因为受到赞同哥白尼学说的天文学教授歇尔•马斯特林的影响，他的兴趣转向天文学，成为哥白尼学说的坚定拥护者。
        开普勒的身世是不幸的。他17岁时父亲去世。1620年，他母亲，一个酒馆老板的女儿，平时爱吵吵闹闹，因被指控犯有巫术罪而入狱，他经一年多的奔波才使其得到无罪释放。开普勒26岁时与一个出身名门的寡妇结婚，举止傲慢的妻子使他很少感到家庭温暖。1613年在前妻死后他又选择了一个贫家女为伴，感情虽很融洽，无奈经济上常处于绝望境地。他两个妻子共生有12个小孩，大多在贫困中夭折。
        开普勒一生命运多舛。由于信仰新教，常受到天主教会的迫害，他的一些著作被教皇列为禁书。他被赶出了奥地利，逃往巴伐利亚。尽管他当上了皇帝的星相家，其他诸侯也经常求教于他，这位天文学的骄子却一直生活在拮据之中。据他自己称，他在担任星相家期间从未领到过工资，在这种情形下还要赡养年迈的母亲。由此可以想象其生活的艰辛。他的三大定律是在流亡的旅程中发现的。
        开普勒平生爱好数学。他也和古希腊学者们一样，十分重视数的作用，总想在自然界寻找数量的规律性 （早期希腊学者称为和谐）。规律愈简单，从数学上看就愈好，因而在他看来就愈接近自然。他之所以信奉哥白尼学说，正是由于日心体系在数学上显得更简单更和谐。他深信上帝是依照完美的数学原则创造世界的。

luyuanhong

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天山草

        网上介绍开普勒生平（摘录并整理）：

        开普勒是如何发现行星运动三定律的：       
        1598年奥地利暴发宗教冲突。天主教徒用凶残的惩罚来恫吓开普勒。他被迫离开奥地利，逃到匈牙利隐蔽起来。不久，他接到在布拉格路德福国王宫庭内任职的第谷的邀请，去协助整理观测资料和编制新星表。开普勒欣然接受，1600年携眷来到布拉格，任第谷的助手。
        这是开普勒最快乐的时代，他不再为生活而发愁，专心从事天文学研究。然而很不幸，他们相处没有多久，第谷便于第二年（1601年）去世。开普勒遭到一次很沉重的打击。这位被称为“星学之王”的天文观测家把他毕生积累的大量精确的观测资料全部留给了开普勒。他生前曾多次告诫开普勒：一定要尊重观测事实！
        开普勒继任第谷的工作，任务是编制一张同第谷记录中的成千个数据相协调的行星运行表。虽然他得到“皇家数理家”的头衔，但宫廷却不发给他应得俸禄，他不得不再从事星相术来糊口。
        第谷的观测记录到了开普勒手中，竟发挥意想不到的惊人作用，使开普勒的工作变得严肃起来。他发现自己的得意杰作——开普勒宇宙模型，在分析第谷的观测数据、制订行星运行表时毫无用处，不得不把它摒弃。不论是哥白尼体系、托勒玫体系还是第谷体系，没有一个能与第谷的精确观测相符合。这就使他决心查明理论与观测不一致的原因，全力揭开行星运动之谜。为此，开普勒决定把天体空间当做实际空间来研究，用观测手段探求行星的“真实”轨道。
        开普勒要解决的问题包括两方面：第一，用什么方法测定行星（包括地球）运动的“真实”轨道，如同观测者能从“天外”看行星绕太阳运行一样；第二，分析行星运动遵循什么样的数学定律。
        如今已很少有人想到，开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动，而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向，就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了。
        开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的运动，然后再研究行星的运动。
        开普勒所用的方法就是普通的三角测量法。
        在大地测量工作中，常常要测定那些由于某种自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定需要测定A地到对岸塔C的距离，因A、C两地被大河阻隔，无法直接去测量这段距离的长度。为了解决这个困难，观测者可在河的这岸另择一点B，AB的距离是可以直接丈量的。这段经过选定的、已知其长度的线段AB，用测量学的术语来说，叫做“基线”。基线确定后，可在它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。于是，在三角形ABC中，已知两角大小和它们所夹的边 （基线）长，三角形的其他角和边，就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得无法达到的目标的距离。
        天文学家们也是用这个方法来测定天体距离的。只不过这个问题对天文学家说来更加困难些，因为天文学家们要布设一条“基线”不那么容易。开普勒所遇到的正是这个困难。为了布设“基线”，就要找到”基线“两端的两个”静止“的天体。可是，在行星系统里，除了太阳是唯一“静止”的天体外，再也找不出第二个这样的“定点天灯”了。这要由开普勒另行觅取。
        开普勒毫不费事地找到这盏灯。它就是火星，一盏天上的“红灯”。
        人们不禁要问：火星不也是在运动吗？
        一点不错，火星确是在运动。然而聪明的开普勒想出一条“动中取静”的妙计。那时人们对火星的视运动已经知道得非常清楚，它绕太阳运行的周期 （一个“火星年”）是精密地测定了的。既然它是在闭合的轨道上运行，就总会有这么一个时刻，即太阳、地球和火星处在同一直线上，而且每隔一个“火星年”之后，它总又要回到天空的同一位置上来。因此，火星虽然是动的，但在某些特定的时刻，太阳与火星的连线总是表现为同一条基线；而地球呢？在这些时刻，它会到达自己的不同位置。这时，对太阳和火星同时进行观测，就成为开普勒测定地球轨道的手段；火星这时就起着所设想的那盏灯的作用。
        开普勒就是这样以令人赞叹的巧妙手法把地球轨道的形状测了出来。地球的轨道一经测定，地球及其向径（矢径）在任何时刻的实际位置和距离变化，也就成为已知条件。反过来，以地球向径作为基线，从观测数据中推求其他行星的轨道和运动，对开普勒来说不再是太困难的事了！
        行星轨道从经验中算出来了，下一步要弄清楚的问题是行星运动究竟遵循什么数学定律？
        乍看，第一个问题解决后，搞清楚第二个问题该是轻而易举的事。然而你马上就会看到，要从经验的数据里推出运动定律要比解决第一个问题艰巨得多。开普勒首先需要了解行星轨道所描出的曲线的几何特征是什么？为此，他必须先作某种假设，然后把它用到一大堆数字上去试试，看它是否能同第谷的数据吻合。如果不是，再找另外的假设进行探索，直到合乎观测事实为止。
        开普勒的目光首先盯住火星。这是因为第谷的数据中对火星的观测占有最大篇幅。恰好，就是这个行星的运行与哥白尼理论出入最大。开普勒按照传统的偏心圆来探求火星的轨道。他作了大量尝试，每次都要进行艰巨的计算。在大约进行了70次的试探之后，开普勒才算找到一个与事实相当符合的方案。使他感到惊愕的是，当超出他所用数据的范围继续试探时，他又发现与第谷的其他数据不符。火星还是不听他的摆布……。
        开普勒诙谐地写道：“我预备征服战神马尔斯，把它俘虏到我的星表中来，我已为它准备了枷锁。但是我忽然感到胜利毫无把握……，这个星空中狡黠的家伙，出乎意料地扯断我给它戴上的用方程连成的枷锁，从星表的囚笼中冲出来，逃往自由的宇宙空间去了。”
        开普勒计算出来的火星位置和第谷数据之间相差8分，即1.133度 （这个角度相当于表上的秒针在0.02秒瞬间转过的角度）会不会是第谷弄错了呢？或是寒冷的冬夜把第谷的手指冻僵了，以致观测失误了呢？不会！开普勒完全信赖第谷观测的辛勤与精密，即使是这样微小的数值，第谷也是不会弄错的。他说：“上天给我们一位像第谷这样精通的观测者，应该感谢神灵的这个恩赐。一经认识这是我们使用的假说上的错误，便应竭尽全力去发现天体运动的真正规律，这8分是不允许忽略的，它使我走上改革整个天文学的道路。”可见，这两位天文学大师的工作在当时已达到何等惊人的精确性！
        当开普勒意识到始终无法找出一个符合第谷观测数据的圆形轨道后，他就大胆摒弃这种古老的、曾寄希望的匀速圆周运动的偏见，尝试用别的几何曲线来表示所观测到的火星的运动。开普勒认为行星运动的焦点应在施引力的中心天体——太阳的中心。从这点出发，他断定火星运动的线速度是变化的，而这种变化应当与太阳的距离有关：当火星在轨道上接近太阳时，速度最快；远离太阳时，速度最慢。他并且认为火星在轨道上速度最快与最慢的两点，其向径围绕太阳在一天内所扫过的面积是相等的。然后，他又将这两点外面积的相等性椎广到轨道上所有的点上。这样便得出面积与时间成正比的定律。
        随后，开普勒看出火星的轨道有点像卵形（幸运的是，他首先选中火星，而火星轨道的偏心率在行星中比起来是相当大的），在连接极大与极小速度两点方向的直径似乎伸得长些。这样，终于使他认识到火星是在椭圆的轨道上运动。
        太阳系各个行星轨道的具体形状稍有不同。一般说来，它们的偏心率都很小，同圆形只有微小的差异。所以行星轨道可以近似地看作圆形，太阳的位置也可以近似地看作位于轨道的中心。这便是当年使开普勒绞尽脑汁的原因。
        这一回又是几何学帮了天文学的大忙。假使没有古希腊人对圆锥曲线（平面截割圆锥所形成的曲线）的研究，这些美妙的定律也许不可能被发现。由于椭圆是圆锥曲线的一种，它那种圆而带扁的形状使开普勒想到火星可能在这样一种曲线的轨道上运动。跟着，利用古代几何学家对圆锥曲线寻找出来的许多性质，他肯定自己所作的假设是正确的，并将这两项发现推广到所有行星。
        1609年，开普勒发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，公布了两个定律：
        （一）所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。
这是行星运动第一定律 （也叫轨道定律）。
        （二）在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。
这是行星运动的第二定律 （也叫面积定律）。
        开普勒虽然摒弃行星等速度运动的偏见，但仍维护这一原则，只是把线速度相等换成了“面积速度”相等。这使开普勒感到分外高兴。有了这个定律，可以计算任何时刻行星在轨道上的位置。
        这两个重要的定律相继发现后，编制星表一事便轻而易举了。不仅“行踪诡秘”的火星永远逃不出星表的“囚笼”，驯服地沿开普勒给定的椭圆轨道运行，其余各个行星也都相继“被俘”。
        

天山草

        奇妙的“2”和“3”。
        开普勒并不满足已取得的成就，他感到自己远远没有揭开行星运动的全部奥秘。他相信还存在着一个把全部行星系统连成一个整体的完整定律。
古人给了他启示，行星运行的快慢同它们距离太阳的远近有关，较远的行星有较长的运行周期。第二定律也表明，即使在同一轨道上，行星速度也因距太阳远近而变化。沿着这条思路，开普勒确信行星运动周期与它们轨道大小（椭圆大小）之间应该是“和谐”的。他要找出其间的数量关系来。
        开普勒是怎样寻找这个关系的呢？他面对的只是一些观测数据，要在它们背后找出隐藏着的自然规律来，这就要求这位天文学家具有高度惊人的毅力和耐心。
        开普勒和哥白尼一样，并不知道行星与太阳之间的实际距离，只知道它们距太阳的相对远近。他把地球作为比较标准：以日地平均距离（天文单位）为距离单位；以地球绕太阳运动周期 （一年）为时间单位。把各个行星的公转周期 （T）及它们与太阳的平均距离（R）排列成一个表，以探讨它们之间存在什么数量关系。
        行星名称          公转周期 （T）   太阳距离 （R）
          水星                   0.241                     0.387
          金星                   0.615                        0.723
          地球                   1                                1  
          木星                 11.862                        5.203
          土星                 29.457                        9.539
       
        从这个表中可知，对水星而言，公转周期是0.241年，距离是0.387天文单位；而对金星来说，则分别为0.615年和0.723天文单位……余类推。这么一堆乱七八糟的数字能反映出什么规律性呢？像做数字游戏一样，开普勒对表中各项数字翻来复去作各式各样的运算：把它们互相乘、除、加、减；又把它们自乘；时而又求它们的方根……。这样，在很少有人了解和支持的困难情况下，他顽强地苦战达9年之久。经过无数次的失败，他终于找到一个奇妙的规律。他在原来的那个表里增添两列数字，周期的平方和距离的立方：
        行星名称        公转周期T        太阳距离R                   T^2           R^3
        水星                   0.241                   0.387                0.058        0.058
        金星                   0.615                   0.723                0.378        0.378
        地球                   1                           1                        1                1
        火星                   1.881                   1.524                3.54                3.54
        木星                 11.862                   5.203            140.7            140.85
        土星                 29.457                   9.539            867.7            867.98

        从这个表的后面两列数字里，我们可以看出这个奇妙的规律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。即：T^2=R^3
这就是行星运动的第三定律 （也叫周期定律）。由此可知，行星同太阳的距离，可以根据该行星公转的恒星周期来计算。
        这个谜一经猜破，似乎十分简单。但在谜底揭开之前，它着实叫开普勒耗尽心血。这对奇妙的“2”和“3”得来并非容易！
        开普勒在获得这一成就时喜不自禁的写道：“……（这正是）我十六年以前就强烈希望要探求的东西。我就是为这个而同第谷合作……现在我终于揭示出它的真相。认识到这一真理，这是超出我的最美好的期望。大功告成，书已写出来了，可能当代就有人读它，也可能后世才有人读，甚至可能要等待一个世纪才有读者，就像上帝等了六千年才有信奉者一样。这我就管不着了”。他写得多么得意呀！
        不知是什么原因，开普勒的这些重大发现却没有引起与他同时代的伽利略的足够重视。两人毕生都为哥白尼学说而奋斗，他们又是朋友，时有书信往来，然而对于开普勒的这一决定性的进展，伽利略一生和著作中竟没有留下任何痕迹。这也是科学史上的一桩怪事！