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四色猜想内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同边界的国家着上不同的颜色”对任意地图来说,该地图上的国家未知,可能是几十个,几百个,那么我们假定存在这样一张地图,其上存在无数个国家,那么只要证明这张地图满足四色猜想,那么是不是就可以证明四色猜想成立。
现在我们先定义一张这样的地图其上有无数个国家,因为是随便定义,我们可以假定在这个地图的中央有一个核心国家该国家被周围的国家保围,为了便于区分我们定义有四种不同的变现形式1,2,3,4 这个核心的国家就用1表达,因为在地图上没有间隙,这个核心国家被外面一圈国家包围,可以将包围他的国家看做一段数列,为了和核心国家区分这段数列不能出现1,为了自己本身不重复那么这段数列中不能出现相邻的数,首项和末项不能重复,我们再次定义对于这样的一个数列叫做不复数列,那么现在我们对这个核心国家的周围的不复数列进行分析。
当该不复数列项数为偶数时,我们可以直接将剩下3种任意抽出2种循环放置,如果你喜欢还可以插入偶数个第四种标记,在首项和末项中插入第四种也可,当然数列的首项是随机选取的,只要整个数列标识该核心国家的周围国家即可,而要证明四色猜想,我们只要验证存在一种排列顺序使四色猜项想成立即可。
当不复数列项数为奇数时,将其余两种标记循环排列,然后插入奇数个第四种标记即可。
由此我们可以得出一个推理一:有四种不同标记是分辨一个被包围的国家的充分且必要条件。
那么现在对于该核心国家外的那一圈国家我们就称之为次级国家,对于这一层国家其与核心国家发生了接触,而在核心国家与周围国家构成的体系中,在不考虑更外围国家的情况下,该体系中的所有国家都可与体系中的国家构成不复关系,得出推理二:在已知系统不复的情况下该体系中的任意部分与体系中任意部分皆不复。这是一条看起来很啰嗦很无用的推理,但特别重要。
现在我们已经得出了初步结论,在四色条件下,可以满足一个区域构与他周围的区域构成不复,那么,现在我们来分析在最初的核心城市外的次级城市,根据推理二,我们可以得知在核心城市外的次级城市在该系统中不复,那么我们只看与次级城市相邻的城市目前体系内都是不复的,那在结合体系外分析时,我们只用看数列的首项和末项,中间各项无影响。
那么,想在我们又重新回到了推理一的推导过程,当剩下的项数为偶数时,将首项末相颠倒顺序循环摆放,当剩下项数为奇数是,同偶数时一样只用在加入奇数个第四种标记即可,当然我说的只是其中一种成立的情况,真实的排列方式很多,这里就一一赘述,毕竟证明四色猜想只要有一种方法全部成立就可以。于此,我们推出推理三,有四种不同标记是分辨一个周围有确定标记的区域的充分且必要条件。
根据推理一,推理二,推理三,该地图由核心区域向外扩散,全部满足四色猜想,由此四色猜想成立。Q.E.D.
当然这里的核心区域和次级区域只是为了描述方便随机选取,没有任何特殊性,因此核心区域的选取不影响命题成立。而对于证明过程中的各种排列方式,只要存在一种使命题在所有条件下成立即可。
当四色猜想满足了无限多国家的地图时,自然满足了所有情况,因为此时其他情况只是无数时的放宽条件。 |
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