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摘要 孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久;在数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会的著名报告中,它位列23个“希尔伯特问题”中的第8个问题,可以被描述为“存在无穷多个素数p,并且对每个p而言,有p+2这个数也是素数”。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系,因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而,尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。(引自百度‘孪生素数’词条。)因此,在此不介绍该问题的研究进展和成果。
由此可见孪生素数问题,特别是孪生素数公式是数论研究的一个重大的热门课题。
根据素数判定定理即可推导证明恒表孪生素数公式。
关键词 恒表 孪生素数 公式
问题简介 摘要已经介绍的内容,没有必要重复。作者先解析孪生素数全部客观存在形式、构成类型、四则运算及其判定,再逆向还原推导出了“恒表孪生素数公式”。
引理 素数列前r项之积加上或减去1,都不被大于第r项素数、小于和或差平方根的素数整除时,必为孪生素数。
推论一 任意改变积的若干个因素的指数,引理依然成立。
推论二 当积的因数(除开2外)缺项(即其指数改变为0)时,和或差不被所缺项素因数整除时,引理依然成立。
定义 令p、Px、Py、Pr表素数。
n、r表自然数,且{n}={1、2、3、4、5•••n},n≥ r ,{r}={1、2、3、4、5•••r}, r=1时,2的指数≥2 。
Pr!i=自然数列前r项或其中若干项之积,且除开2的指数不为0外,各项的因数指数可以任意改变。
Pr< py≤ √p、√(p+2)。
Px表Pr!缺项的素因子。
“ |”为整除号,“∤”为不整除号。“i”为任意改变指数号(简称变幂号)。 则引理可表述为:
孪生素数公式 p=Pr!-1 p+2=Pr!+1 Px、Py∤p、 p+2
证明 Pr|Pr!,Pr∤1 =〉Pr∤p+2、p;又r= r≥ 1,所以前r项素数都∤p、 p+2。
已知Px、Py∤p、 p+2。=〉所有小于或等于√p、√(p+2)的素数都∤p、 p+2。
假定有一个大于Py的素数 |p、 p+2 ,已知Py≤ √p、√(p+2)=〉必然同时有一个Pr或Py同时|p、 p+2,这与前面已证Pr、Py∤p、 p+2矛盾。=〉假设不成立。
综上=〉p、 p+2必为孪生素数。引理得证。
同理可证推论一、二成立。
例如根据引理可得孪生素数:
p+2= 2x2+1=5 p= 2x2-1=3
p+2= 2x3+1=7 p=2x3-1=5
p+2= 2x3x5+1=31 p=2x3x5-1=29
(各式积的末位因数即Pr的取值,下同。)
根据推论一,改变引理例式中各因数的指数可得孪生素数:
p+2=2x2x3+1=13 p=2x2x3-1=11
p+2= 2x3x3+1=19 p=2x3x3-1=17
p+2= 2x3x5x5+1=151 p= 2x3x5x5-1=149
p+2=2x2x3x5+1=61 p=2x2x3x5-1==59
p+2=2x2x2x3x3+1=73 p=2x2x2x3x3-1=71
p+2=2x2x3x3x3+1=109 p=2x2x3x3x3=1=107
p+2=2x2x3x3x5+1=181 p= 2x2x3x3x5-1=179
p+2=2x2x2x2x2x2x3+1=193 p=2x2x2x2x2x2x3-1=191
p+2=2x2x3x5x7+1=421 p=2x2x3x5x7-1=419
根据推论二,改变引理例式中Pr的值和各因数的指数可得孪生素数:
p+2=2x3x7+1=43 p=2x3x7-1=41
p+2= 2x2x5x5+1=101 p=2x3x17+1=103
p+2=2x3x23+1=139 p=2x3x23-1=137
p+2=2x3x3x11+1=199 p=2x3x3x11-1=197
又因为偶数都是2的倍数;任意一个奇合数都是若干个奇素数的积,所以任何奇合数分解质因数都必然是引理及推论中的一种形式;由此推知引理及推论可以表出任意奇数,包含了所有孪生素数,从而推知引理及推论可以表计全部孪生素数,证毕。
引理及推论合并表述为:
恒表孪生素数公式
p= Pr!i-1 p+2=Pr!i+1 Px、Py∤p、 p+2,p、 p+2必表孪生素数,且其值集就是全部孪生素数。
Pr≤自然数n, n!(分解合数项质因数)=Pr!i=>此式又可表述为:
孪生素数定理 自然数列前n项之积,或n内任意若干项(除开2的指数不为0外,各项或其素因子指数可以任意改变)之积,加上或减去1,和或差都不被缺项的素因子、大于n的素数小于或等于和或差的平方根的素数整除时,必为孪生素数。且所有孪生素数都可以如此表计。
例如 p+2=1x2x3+1=7 p=1x2x3-=5
p+2=1x2x3x3x4+1=73 p=1x2x3x3x4-1=71
p+2=1x2x3x7+1=43 p=1x2x3x7=41
p+2=1x2x3x4x13+1=313 p=1x2x3x4x13-1=311
综上结论,本文证明了孪生素数公式成立;揭示了孪生素数三类客观排列、构成形式、规律,推进了相关数学基础理论研究、发展。
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