[求助]

萧何

求　　关于　９０阶，３６阶，７２阶群的非单性证明．非常感谢！！！

wangyangke

“蠢货”（ygq的马甲 ）你，“意淫”很开心吗？？？“意淫”很生猛吧？？？
少“添乱”就是多作“贡献”啦。网络时代的“蠢货”还特别多，唉，……
人“蠢”就安静些嘛，没有人硬要“蠢货”（ygq的马甲 ）你出来的.

wanwna

都不为单群
36阶群:G含有指数为4的9阶子群(3-Sylow子群),于是该9阶子群一定含有原36阶群的一个正规子群H,使得[G:H]|4!,于是H一定是一个非平凡正规子群(因为36不是4!的约数).所以36阶群不为单群
72阶群:G含有1个或者4个3-Sylow子群(9阶).如果只有一个,则该群一定是正规子群,g不为单群;如果有4个,则设其中一个为H,H的正规化子N(H)在G中指数为4,即[G:N(H)]=4,则N(H)中一定含有G的一个正规子群H';,使得[G:H';]|4!,于是H';一定是一个非平凡正规子群(因为72不是4!的约数),于是72阶群也不为单群.综上,72阶群不为单群
90阶群:90=2*45,45为奇数.则90阶群一定含有一个45阶子群,因为指数为2,所以为正规子群.所以90阶群不为单群

wanwna

以上用到的定理很多:
1.Sylow定理
(有限群G的p-Sylow子群指的是,如果p^n| |G|,但p^(n+1)不为|G|的约数,则G的p^n阶子群称为g的p-Sylow子群)
(1)G的p-Sylow子群至少有一个
(2)若p^k| |G|,则G一定含有p^k阶子群.且对于G的任何p^k阶子群H';,一定可以找到G的一个p-Sylow子群H,使得H';是H的子群
(3)G的所有p-Sylow子群两两共轭
(4)设G的p-Sylow子群个数为n,阶为p^n
则n|(|G|/p^n),且n除以p余数为1

wanwna

[这个贴子最后由wanwna在 2009/10/02 10:59pm 第 1 次编辑]

2.指数为2的子群为正规子群
3.若有限群G有一个子群H,则H中一定含有G的一个正规子群K,满足[G:K]|([G:H])!
4.若H为G的子群,H在G中的共轭群一共n个,H在G中的正规化子为N(H),则有[G:N(H)]=n
5.2k(k为奇数)阶群必然含有一个k阶子群,因为指数为2,所以为正规子群
以上定理我就不证明了,你应该可以查到其证明.不过如果你没有查到其中某一条,并对其有兴趣的话,可以回贴,我来证明一下.

wanwna

另外,现在,所有的单群分类都已经找到,这是20世纪对于抽象代数的巨大成就之一.