求在复平面上，x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1=0 的十个根为顶点的十边形的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/03/24 10:11pm 第 3 次编辑]

原方程左边可分解出四个因式：
(1 + x^2) (1 - x + x^2) (1 + x + x^2) (1 - x^2 + x^4) = 0。
因此上述方程的十个根分布在单位圆上，其辐角是：30°，60°，90°，120°，150°以及-30°，-60°，-90°，-120°，-150°。
这十个点构成的十边形的面积是 4*(0.5*sin30°+ 0.5*sin30°+ 0.25*(√3)/2)=
2 + (√3)/2.
不知算得对不对？

drc2000

drc2000

下面引用由天山草在 2013/03/24 09:43pm 发表的内容：
原方程左边可分解出四个因式：
(1 + x^2) (1 - x + x^2) (1 + x + x^2) (1 - x^2 + x^4) = 0。
因此上述方程的十个根分布在单位圆上，其辐角是：30°，60°，90°，120°，150°以及-30°，-60°，-90°，-120° ...

很好,因式分解...计算结果也正确.....
但最好说明为什么十个根却分布在12等分圆上.

luyuanhong

x^12-1=(x^2-1)(x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1)=0 ，
可以看出，方程 x^10+x^8+x^6+x^4+x^2+1=0 的十个根只是比 x^12-1=0 的十二个根少了两个根。
楼上 drc2000 的答案正确。我已将此解答转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。