任意给出 m 个数，证明：其中必有某个数或某些数之和可以被 m 整除

luyuanhong · 发表于 2013-3-30 08:46

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

求證：任意 m 個整數，證明存在某個數或是某些數的和可以被 m 整除

luyuanhong · 发表于 2013-3-30 10:50

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

moranhuishou · 发表于 2013-3-30 15:08

这好像不是一个题目，一楼的是任意个整数，而二楼的证明是连续的整数。
当然，这是不难证明的，不过繁琐一点。

moranhuishou · 发表于 2013-3-30 15:47

证明：设m个数为 a1，a2，...am. a1=t_1(mod m),a2=t_2(mod m),...,am=t_m(mod m). 如果a1，a2，...am是连续的，则 t_1=1, t_2=2,..., t_m=m 则有如下[m/2]或[m/2]+1（m为奇数）组和可被m整除： t_1+t(m-1), t_2+t(m-2),…, t_m 欲“消灭”此能被m整除的两两相加之“和”，显然其必要条件是把>m/2的t_i全部换作

moranhuishou · 发表于 2013-3-30 16:29

还有一种情况就是 t_1= t_2=,..., t_m=k

luyuanhong · 发表于 2013-3-30 17:32

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/03/30 05:32pm 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2013/03/30 03:08pm 发表的内容：
这好像不是一个题目，一楼的是任意个整数，而二楼的证明是连续的整数。
当然，这是不难证明的，不过繁琐一点。

第 2 楼中所说的“连续”，不是说数值上的连续，不是说像 1，2，3，4 那样的连续，
而是说排列位置上的连续，例如有 n=6 个数：7，9，7，3，1，4，排成一列，将后面
位置连续的 5 个数加起来，得到 9+7+3+1+4=24 ，正好是 n=6 的倍数。

moranhuishou · 发表于 2013-3-30 17:55

下面引用由luyuanhong在 2013/03/30 05:32pm 发表的内容：
第 2 楼中所说的“连续”，不是说数值上的连续，不是说像 1，2，3，4 那样的连续，
而是说排列位置上的连续，例如有 n=6 个数：7，9，7，3，1，4，排成一列，将后面
位置连续的 5 个数加起来，得到 9+7+3+1+4=2 ...

不大明白，
例如三个任意数
3 5 8
怎么加起来刚好能被3整除？

luyuanhong · 发表于 2013-3-30 21:03

下面引用由moranhuishou在 2013/03/30 05:55pm 发表的内容：
不大明白，
例如三个任意数
3 5 8
怎么加起来刚好能被3整除？

3 就是 1 个数加起来的和，3 可以被 3 整除。

moranhuishou · 发表于 2013-3-30 21:31

明白了

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任意给出 m 个数，证明：其中必有某个数或某些数之和可以被 m 整除