图最小完全同态的亏格一定小于等图本身的亏格——兼对面四色猜测的证明

雷明85639720

图最小完全同态的亏格一定小于等图本身的亏格
——兼对面四色猜测的证明
雷  明
（二○一八年三月二日）

1、        图最小完全同态的亏格一定小于等于图本身的亏格
    哈拉里说过，图的色数就是图的最小完全同态的顶点数。要求一个图的最小完全同态，用的就是把图中不相邻的顶点凝结在一起的同化方法，而且要求在同化的过程中不能违规操作，必须是把距离最近的两个不相邻的顶点同化在一起。这样做，就能保证同化的最后结果，一定是所同化的图的最小完全同态。当然这时该完全同态的顶点数就是该图的色数，也就是最小的了。
图1是K3，3图求最小完全同态的过程。K3，3图的最大团是K2，亏格是1，最小完全同态在环面上是一个多重的K2图，该K2图的亏格是0，小于原K3，3图的亏格1。
图2是最大团是K4团的非平面图求最小完全同态的过程。该图的最小完全同态是一个多重的K4图，亏格是0，也小于原图的亏格1。
图3是一个最大团仍是K4团的非平面图求最小完全同态的过程。该图的最小完全同态则是一个多重的K5图，亏格是1，是等于原图的亏格1的。
我们对多个图用同化的方法求其最小完全同态时，得到的结果都是其最小完全同态的亏格都是小于等于原图的亏格的。图的最小完全同态的亏格有没有大于原图本身亏格的可能呢。没有。

    2、图的亏格
    任一个图都可以嵌入若干个不同亏格的曲面，其中亏格最小的曲面的亏格就是图的亏格。带有一个环柄的球面（变形后则是一个轮胎面，即环面）的亏格是1；当然球面上不带环柄，其亏格就是0；带有两个环柄的球面（变形后是一个字型面包圈面，即睛镜匡面）等。总之球面上带有环柄的个数，就是曲面的亏格数。这就是定向曲面。图1中的K3，3图、图2和图3中的非平面图，只能嵌入到亏格是1的环面上，所以K3，3图、图2和图3中的图的亏格都是1。但K3，3图和图2的这个非平面图的最小完全同态K2和K4却都是平面图（可嵌入在球面上），所以K2和K4的最小完全同态的亏格是0。

    3、图在曲面上的嵌入
    一个图能嵌入亏格大于或等于其亏格的曲面上，表现在图中，就是除了顶点处是边与边相交外，其他任何地方都不存在边与边相交叉的情况。否则就是不能嵌入。请看上面图1中的K3，3图、图2和图3中的非平面图在环面上的嵌入，在顶点以外的其他任何地方，都没有边与边相交叉的情况。但这些图画在平面上时，在顶点以外却都存在着交叉边，如图1，a，图2，a，图3，a和图3，f。

4、通过同化求图的最小完全同态
从上面几个图的同化过程中可以看出，当把两个最近距离的不相邻顶点凝结在一起时，有的边是相互重合了，有的边变成了平行边。比如在图2中，当把顶点7凝结到顶点4上去时，边1—7和边1—4就会重合，成为一条边；而边7—3和边4—3就不能重合，但两条边的两个端点却都是顶点4（7）和顶点3，所以就成了平行边。平行边画在平面上时就可以只用一条代表，所以图1和图2的最小完全同态去掉平行边后就是平面图，可以画在平面上，在顶点之外没有边与边相交叉的情况；而有些图的最小完全同态去掉平行边后，仍是画不到平面上的（图中仍有在顶点之外相交叉的边），这就不是平面图，而是一个可嵌入多阶曲面（亏格大于0的曲面）上的图。如图3的最小完全同态K5就是一个亏格格为1的非平面图。其原图的亏格也是1，所以说图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图本身的亏格的。可以想一想，一个图已经嵌入到它所能嵌入到的曲面中的最小亏格的曲面上时，这个曲面就已经确定。同化只是在其中把不相邻的顶点进行凝结的过程，仍是在这个亏格的曲面是进行的，难道该曲面的亏格还会自动变大吗，不可能的事。所以图的最小完全同态的亏格是不会大于原图本身的亏格的。只所以我们说图的最小完全同的亏格会小于原图本身的亏格，是因为我们认为已嵌入在原图原来所嵌入的亏格的曲面上的带有平行边的最小完全同态，在去掉了平行边以后，是还可以嵌入比原图所嵌入的曲面的亏格小的曲面上的。因为图的亏格是其所嵌入的曲面的最小亏格，且任何图的最小完全同态也是一个图，所以该图的最小完全同态的亏格就应是比原图亏格小的图。
5、图的色数是等于图的最小完全同态的顶点数的
图的最小完全同态的每一个顶点都是由不相邻的顶点凝结在一起的，这些顶点着同一种颜色是符合着色要求的；最小完全同态中的各个顶点都是相邻的，有多少个顶点，就得用多少种颜色；所以图的色数就应是其最小完全同态的顶点数。以上三个图的最小完全同态分别上K2、K4、K5，其色数分别就是2、4、5，给其最小完全同态着上颜色后，分别再按同化时的相反方向展开，就得到了原图的着色模式。如图4所示。

6、四色猜测的证明
四色猜测的研究对象只是平面图，而平面图中最大的完全图是K4，任何平面图的最小完全同态的顶点数一定是不会大于K4图的顶点数的，所以平面图的色数也是一定不会大于4的。这也就证明了四色猜测是正确的。
7、结论
任何图的色数都是等于其最小完全同态的顶点数的；任何图的最小完全同态的亏格一定是不会大于其原图本身的亏格的；所以任何图的最小完全同态的顶点数也一定是不会大于该亏格下的最大完全图的顶点数的；平面图的亏格是0，其最小完全同态的亏格也一定是不会大于0的；亏格是0的平面图中顶点数最多的完全图是K4图，其顶点数是4；那么任何平面图的最小完全同态的顶点数也一定是不会大于4的；所以四色猜测是正确的。

雷  明
二○一八三月二日于长安

注：此文已于二○一八年三月五日在《中国博址网》上发表过，网址是：

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雷明85639720

这句话是狗屁不通的。我在文中也没有谈到关于着色模式的事呀，而且我主要是谈图的亏格的。亏格，你懂吗。能不能证明，与你有什么关系呢，我文中根本就没有提到你呀，你为什么来这里不指出具体问题而一味盲目的反对呢。

雷明85639720

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