正整数 a,b,c 满足 a≤b≤c ，a|b+c+1 ，b|a+c+1 ，c|a+b+1 ，(a,b,c)有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  正整数 a,b,c 满足 a≤b≤c ，a|b+c+1 ，b|a+c+1 ，c|a+b+1 ，(a,b,c)有几组？

解  共有以下 12 组：
（1） (1,1,1) ： 1|1+1+1=3  ， 1|1+1+1=3  ， 1|1+1+1=3  。
（2） (1,2,2) ： 1|2+2+1=5  ， 2|1+2+1=4  ， 2|1+2+1=4  。
（3） (1,1,3) ： 1|1+3+1=5  ， 1|1+3+1=5  ， 3|1+1+1=3  。
（4） (1,2,4) ： 1|2+4+1=7  ， 2|1+4+1=6  ， 4|1+2+1=4  。
（5） (3,4,4) ： 3|4+4+1=9  ， 4|3+4+1=8  ， 4|3+4+1=8  。
（6） (2,2,5) ： 2|2+5+1=8  ， 2|2+5+1=8  ， 5|2+2+1=5  。
（7） (2,3,6) ： 2|3+6+1=10 ， 3|2+6+1=9  ， 6|2+3+1=6  。
（8） (1,4,6) ： 1|4+6+1=11 ， 4|1+6+1=8  ， 6|1+4+1=6  。
（9） (2,6,9) ： 2|6+9+1=16 ， 6|2+9+1=12 ， 9|2+6+1=9  。
（10） (4,5,10)： 4|5+10+1=16 ，5|4+10+1=15，10|4+5+1=10 。
（11） (3,8,12)： 3|8+12+1=21 ，8|3+12+1=16，12|3+8+1=12 。
（12）(6,14,21)：6|14+21+1=36，14|6+21+1=28，21|6+14+1=21 。